重積分

質問

∫∫ x/(x^2+y^2) dxdy
範囲 x^2/4<=y<= x , 0<=x<=4
が解けません。ヒントでもいいのでお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

普通に順番に積分してできるようですよ．
使う積分公式は
(1)　　∫{1/(c^2+t^2)} dt = (1/c) arctan(x/c)　　　(c>0)
(2)　　∫arctan t dt = t arctan t - (1/2)log(1+t^2)
の２つです．

まず，y で積分．
(3)　　∫ {x/(x^2+y^2)} dy = arctan(y/x)
ですから
(4)　　∫{x ～ x^2/4} {x/(x^2+y^2)} dy
　　　　= arctan 1 - arctan(x/4)
　　　　= π/4 - arctan(x/4)
次に x で積分すると
(5)　　∫{(4)式} dx = (π/4)x - 4 arctan(x/4) + 2 log{1+(x/4)^2}
だから
(6)　　∫{0 ～ 4} {(4)式} dx
　　　　= π - 4 arctan 1 + 2 log{1+1^2}
　　　　= 2 log 2

計算ミスがあるかも知れませんので，チェックよろしく．