微分 級数 C^n級

質問

微分　級数　C^n級

C^1級やC^2級の具体例が知りたくて質問させて頂きました。
因みに、多項式はC^∞級でありC^1級でもあることは理解しています。

C^2級の例:y=|x|^3
y'=-3x^2 (x<0), 3x^2 (x>0) これは連続
y''=-6x (x<0), 6x (x>0) これは連続
しかし，y'''は原点で定義されないので，y'''は連続ではない
したがって，y=|x|^3 はC^2だがC^3ではない．

C^1級の例:y=|x|^2
上と同じ。

因みに、C^0級なるものを聞いた事がないのですが、
上の例に従うとy=|x|はC^0級となると思います。
この考えは間違っているでしょうか？

以前、別の質問でご回答頂いたのですが、
C^1⊂C^2 ⊂ C^3 ⊂ C^4 ⊂ …
となることは理解しています。
C^0級は、集合としてC^1級よりも大きいのでしょうか？
C^0⊂C^1となるのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

また、山程の量の追加質問ですね。
一応回答しておきますが、
どうせ今回も、一部しか読まないのでしょう？

＞　右極限：lim[x→+0]y´=0
＞　左極限：lim[x→-0]y´=0
＞　よって左右の極限が等しいので
＞　y=|x|^2は、x=0で微分可能。

y が x=0 で微分可能かどうか調べたいなら、
lim[x→+0]y´= lim[x→-0]y´ か否かではなく、
lim[x→+0](y(x) - y(0))/(x-0) = lim[x→-0](y(x) - y(0))/(x-0)
か否かを確認しなくては。
lim[x→+0]y´= lim[x→-0]y´だが x=0 で微分区可能な y
の実例を、A No.6 に挙げておきましたよ？

＞　右極限：lim[x→+0]y´=1
＞　左極限：lim[x→-0]y´=-1
＞　よって、左右の極限が異なるので
＞　y=|x|は、x=0で微分可能でない。

lim[x→+0]y´≠ lim[x→-0]y´ によって示されるのは、
y が x=0 で微分不可能なことではなく、
y´ が x=0 で連続でないこと(だけ)です。
y が x=0 で D^1 級である可能性は、まだ否定できていません。

＞　C^0級は単に連続関数を表すのでしょうか？
＞　一回も微分可能でない関数を示すのでしょうか？

そういう習慣です。

＞　例えば、y=|x|^3はC^2級であるとは、
＞　原点に対してC^2級ですよね。
＞　その他の点ではC^∞級だと思います。

定義域の全域で C^n 級であることを、関数が C^n 級だと言います。
定義域を明示しなければ、話にならないのは当然ですが。

例えば、全実数 x で定義された |x|^3 は、x=0 で C^2 級であり、
x≠0 でも( C^∞ 級なので、同時に) C^2 級でもあります。
よって、定義域全域で C^2 級です。
x=0 で C^2 級ですから、定義域全域で C^∞ 級にはなりません。
C^n 級の包含関係は、こんどこそ理解できたのでしょうね？

補足

ご回答ありがとうございます。
全て読ませて頂きました。

x=0で微分可能であるかに関しての私の認識は、
1.f(x)において、f(0)が定義されている事
2.lim[h→±0]f(a+h)=f(a±0)より連続である事
3.lim[h→±0]f(a+h)-f(a)/h=f´(a±0)より左右の極限が一致する事
だと考えております。

＞lim[x→+0]y´≠ lim[x→-0]y´ によって示されるのは、
＞y が x=0 で微分不可能なことではなく、
＞y´ が x=0 で連続でないこと(だけ)です。
lim[h→±0]f(a+h)=f(a±0)が連続であるかどうかを示すと考えて
いるのですが間違いですか？

lim[x→+0](y(x) - y(0))/(x-0) = lim[x→-0](y(x) - y(0))/(x-0)
の式が理解出来ませんでした。
私が、理解している微分可能の定義は
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/bibun/bibun-kanou.html
です。

関数の連続と微分可能性
http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/biseki/renzokusei.html

＞　C^0級は単に連続関数を表すのでしょうか？
＞　一回も微分可能でない関数を示すのでしょうか？
＞そういう習慣です。
連続であり一回も微分可能でない関数を表すということですか？
C^0級は、集合としてC^1級よりも大きいのでしょうか？

＞定義域の全域で C^n 級であることを、関数が C^n 級だと言います。
＞定義域を明示しなければ、話にならないのは当然ですが。
この点に関しては理解出来ました。

＞例えば、全実数 x で定義された |x|^3 は、x=0 で C^2 級であり、
＞x≠0 でも( C^∞ 級なので、同時に) C^2 級でもあります。
＞よって、定義域全域で C^2 級です。
なぜ、上の表現で「x=0 で「C3 でないから」、C∞ ではない」と
表現し直したのでしょうか？元の表現で問題ないように思うのですが。

＞x=0 で C^2 級ですから、定義域全域で C^∞ 級にはなりません。
＞C^n 級の包含関係は、こんどこそ理解できたのでしょうね？
C^1⊃C^2⊃・・・⊃C^∞です。
理解できました。

以上、また追加質問ですがご回答何卒よろしくお願い致します。

回答No.9

Tacosan

C^0級は「連続」というだけです. 微分可能性にはまったく触れていません.

余談だけど, あなたの書いた「x=0で微分可能であるかに関しての認識」のうち 2 と 3 は意味不明. 「f(a±0)」とか「f´(a±0)」とかって, 定義されてないよね.

回答No.8

alice_44

ああ…末尾の処、書き方が悪かった。
x=0 で「C3 でないから」、C∞ ではない
…と書かないとね。
これ、ついやってしまうな。

回答No.6

alice_44

＞　微分係数の定義に従い、左右極限を調べて微分可能であるか
＞　どうかを調べるのでしょうか？

そのとおりです。

＞　y´ = 2x (x<0), y´ = 2x (x>0)
＞　x < 0 と x > 0 の微分の結果が同じだから
＞　y´ = 2x となり、y´´ = 2となるという事でしょうか？

では、ダメです。

y´ = 2x (x<0), y´ = 2x (x>0) とは別に
y´ = 0 (x=0) であることが判れば、
y´ が x = 0 で連続であることは解りますが、
y´ = 2x (x<0), y´ = 2x (x>0) から
y´ = 0 (x=0) は導けません。

例えば
x ≠ 0 のとき y = x^2
x = 0 のとき y = 100
という関数を考えてみましょう。
y´ = 2x (x<0), y´ = 2x (x>0) ですが、
y´ (x=0) は存在しません。

＞　|x|^3 の場合は、x < 0 と x > 0 の微分の結果が異なる
＞　ためですか？

「微分の結果が異なる」が何を言っているのかが謎ですが…

lim[x→ +0] y´ ≠ lim[x→ +0] y´ であることを指しているなら、
確かに、y´ が x = 0 で連続にはならないことが結論できます。

x < 0 と x > 0 で y´ を表す式が異なることを指しているのなら、
それではダメです。

例えば
x ≧ 0 のとき y = x^2
x < 0 のとき y = x^3
という関数を考えてみましょう。
ちゃんと x = 0 で微分できて、
しかも y´ は x = 0 で連続です。

補足

ご回答ありがとうございます。

y=|x|^2について、
y=|x|^2は、
y=x^2｜x>0，y=x^2|x<0
より、y=|x|^2=x^2である。
x=0において
右極限：lim[x→+0]y´=0
左極限：lim[x→-0]y´=0
よって左右の極限が等しいので
y=|x|^2は、x=0で微分可能。

よってy=x^2は、C^∞である。

y=|x|について、
x=0において
右極限：lim[x→+0]y´=1
左極限：lim[x→-0]y´=-1
よって、左右の極限が異なるので
y=|x|は、x=0で微分可能でない。
y=|x|はC^0級と表現してOKでしょうか？
C^0級は単に連続関数を表すのでしょうか？
一回も微分可能でない関数を示すのでしょうか？

また、y=|x|はx=1においては、
右極限：lim[x→+0]y´=1
左極限：lim[x→-0]y´=1
よって左右の極限が等しいので
y=|x|は、x=1で微分可能。
y=x｜x>0より、y=|x|はx＝1に
おいてC^∞級である。

ある関数のクラスを言う場合は、
どの範囲で議論されるのでしょうか？
例えば、y=|x|^3はC^2級であるとは、
原点に対してC^2級ですよね。
その他の点ではC^∞級だと思います。

絶対値付きの微分に関しては新しく質問
させて頂きます。

回答No.5

kabaokaba

>|x|^2は実関数としてx^2と同じであることはグラフを描かず

・・・・絶対値って分かってますか・・・・
絶対に分かってないと思うので
高校の教科書を見直しましょう．

補足

ご回答ありがとうございます。
絶対値に関しての認識ですが、
|f(x)|について、
|f(x)|=f(x)｜ｘ≧0
|f(x)|=-f(x)｜ｘ＜0
また、
|f(x)|=√(f(x)^2)
程度の認識です。

回答No.4

alice_44

C^n 級の包含関係については、
http://okwave.jp/qa/q6694795.html の No.6 で
＞ 理解できました。
とのことだったので、理解できたのかと思っていました。

|x|^2 が何級かについても、
前スレの No.5 に書いておいたんですがね。
無視するから、同問再投することになるんですよ。

|x|^3 は、C^2 だが C^3 でなない…で ok です。
|x|^m は、m の遇奇で違いますね。

補足

ご回答ありがとうございます。
無視したつもりはありませんm(_ _)m

No5に頂いたご回答を確認させて頂きました。
グラフを作成してみると|x|^2はx^2とグラフが同じでした。
|x|^3はx^3とグラフが異なりました。
なので、|x|^2はC^1級でもありC^∞級でもあると
理解しました。

|x|^2は実関数としてx^2と同じであることはグラフを描かず
とも分かるのでしょうか？

私が間違えていた点は、y=|x|^2の微分です。
y´=2x(x<0),y´=2x(x＞0)
x＜0とx>0の微分の結果が同じだから
y´=2xとなり、y´´=2となるという事でしょうか？
|x|^3の場合は、x＜0とx>0の微分の結果が異なる
ためですか？

ここで、改めて質問なのですが、絶対値が付いた
場合の微分はどのように行えばよいのでしょうか？
例えば、｜sinx｜や｜logx｜などです。
｜sinx｜はグラフを描くとx=0で微分不可のように思います。
｜logx｜はグラフを描くとx=1で微分不可のように思います。

微分係数の定義に従い、左右極限を調べて微分可能であるか
どうかを調べるのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

kabaokaba

C^0級は連続であることの別表記なのが一般的．

y=|x|^2はC^∞（だからC^1でもあるが・・・）

>C^1⊂C^2 ⊂ C^3 ⊂ C^4 ⊂ …
>となることは理解しています

理解してないです．
包含関係が逆です．
C^nのnが大きくなればなるほど条件が厳しくなるのだから
徐々に小さくなるのです．

補足

ご回答ありがとうございます。
C^1 ⊃ C^2 ⊃ C^3 ⊃ …
でした。記号の向きを間違えました。申し訳ありません。
意味は理解しております。

C^0級はC^1級のように1階微分可能で・・・
と言う事は表さず、単に連続関数を表すということでしょうか？

y=|x|は左右の極限が異なるので、x=0で微分不可能ですよね。
なので、y=|x|をC^0級と考えた次第です。

また、y=|x|^3はC^2だがC^3ではない。という考えは間違いでしょうか？

申し訳ありませんが、ご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

回答No.2

hrsmmhr

C^n級について忘れてしまったので間違っているかもしれませんが
C^n級がn階微分可能でその導関数が連続という意味なら
C^0級はその関数そのものが連続と定義するのが自然です
でも定義の仕方なので、単なる連続関数をクラス分けする必要はないとすれば
そんなクラスはなかろうと思います。教科書の定義をもう一度ご確認ください
ちなみにy=|x|^2=x^2はC^∞級と思います

回答No.1

Tacosan

「C^1⊂C^2 ⊂ C^3 ⊂ C^4 ⊂ …」ってどういう意味?