因数分解～P（x）のわり算

質問

余剰定理により余りを求める問題なのですが、解説にわからない部分がありました。

｛問題｝
P（x）を（x－２）＾３で割ったときの余りが２x＾２－５x－１である。　（以下略）

（１） P(x)をx－１で割ったときの余りを求めよ。

｛解説｝
P(x)＝（x－１）＾３Q(x)＋２x＾２－５x－１　と表せられるので
余剰定理より求める余りは
P（１）＝ー４

と書いてあったのですが、問題は（x－１）であるのに、なぜ（x－１）＾３から答えが求められるのですか？　割る数が異なればQ(x)の値も異なり、余りもことなるのではないのでしょうか？

分かりにくかったら、ごめんなさい；　よろしくお願いします！

、

回答No.3

OurSQL · ベストアンサー

えっとですね、

>（１） P(x)をx－１で割ったときの余りを求めよ。

という問題を解くとき、

P(x)＝（x－１）R(x)＋C

という形を作ることができれば、余りが C だってことは一目瞭然です。だけど、

P(１)＝（１－１）R(１)＋C ＝ C

なので、わざわざ

P(x)＝（x－１）R(x)＋C

なんて変形をしなくても、P(１) の値さえ求めれば、それが

「P(x)をx－１で割ったときの余り」

になるわけです。この問題では、

P(x)＝（x－１）＾３Q(x)＋２x＾２－５x－１

なわけだから、

P（１）＝ －４

だと、すぐに計算できますよね。普通なら、これで終了にします。

それではどうしても気が済まないというなら、

P(x)＝（x－１）＾３Q(x)＋２x＾２－５x－１

を変形して、

P(x)＝（x－１）（x－１）＾２Q(x)＋（x－１）（２x－３）－４

さらに整理すると、

P(x)＝（x－１）{（x－１）＾２Q(x)＋（２x－３）}－４

となります。だから、

R(x) = （x－１）＾２Q(x)＋（２x－３）,

C = －４

と置くことによって、

P(x)＝（x－１）R(x)＋C

という形が作れたことになります。

だけど、人生は短く、時間は貴重です。わざわざ、こんな面倒な計算を必要とする変形は、しなくていいんじゃないでしょうか。

お礼

解説ありがとうございました。
たしかにOurSQLさんのおっしゃる通り、勉強面に限らず細かいところにこだわってしまって、府に落ちないといつまでも前に進めないのは時間の無駄かもしれませんね。ただそういうものを解決しないことには、上手く記憶に定着しないので今のところどうすることもできません。なにか良い方法があれば良いのですがね。

とりあえず、ありがとうございました。質問箱にはよく投稿するので、また教えていただくことがあるかもしれませんね。その時は、またよろしくお願いしますね。

回答No.2

OurSQL

それはさて置き、

＞｛問題｝
＞P（x）を（x－２）＾３で割ったときの余りが２x＾２－５x－１である。　（以下略）

この部分は、本当にこの通りですか。

流れからすると、

## ｛問題｝
## P（x）を（x－１）＾３で割ったときの余りが２x＾２－５x－１である。　（以下略）

の方が自然な感じがしますけれど。

補足

OurSQLさんのおっしゃる通りでした。正しくは

｛問題｝
## P（x）を（x－１）＾３で割ったときの余りが２x＾２－５x－１である。　（以下略）

でした。　ただ、OurSQLさんが仰った、P(x)をそのまま受け入れるというのは、どういうことでしょうか？違いにこだわらない方が良いということですか？

回答No.1

OurSQL

P(x)＝（x－１）＾３Q(x)＋２x＾２－５x－１　という式を、P(x)を（x－１）＾３で割ったときの商がQ(x)、余りが２x＾２－５x－１　と読むこともできますが、そんなことはこの際忘れましょう。
単に、P(x)＝（x－１）＾３Q(x)＋２x＾２－５x－１　だという事実を受け入れてください。
そうすれば、P(x)をx－１で割ったときの余り、すなわち P（１）が －４ になるということを、ふつうに理解できるはずです。