微分の(x-a)^2のわり算

質問

xについての多項式f(x)を(x-a)^2 で割ったときの余りを、f(a),f'(a) で表すって問題なんですが、

あまりを、px+q
商を Q(x)とすると、
f(x)=(x-a)^2・Q(x)+px+qと表せるのはわかります。
このあと、微分をするんですが、何で微分をするんですか？
問題に、f'(a)という、aに対する変化率で、表すことを前提としているから何でしょうか？

ちなみに、後の、けいさんで、
f'(x)として、微分して、x=aを代入して、
f(a)=pa+q,f'(a)=p
より、
pa+q=xf'(a)+f(a)-af'(a)です。

またまた、本当に申し訳ないですが、易しく解説お願いいたします。高校２年です。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

p,qを求めるには、２つの式を立て、連立方程式を解いて求める。」ことが定石です。

一方、
式を立てるには剰余定理を使い
x=aを f(x)に代入して余りf(a)=pa+q
これだけでは連立方程式ができないのでp,qが求まらない。

ここで、良く考えて見てください。
(x-a)^2*Q(x)
の項は
「微分しても(x-a)の因数を持つ」←■これがこの問題のポイント■
ということです。（実はこれは非常に重要な基礎的な常識です）

この結果 f'(x)にも剰余定理が使える」のです。
剰余定理が適用でき、x=aが代入すれば、もう一つ式が立てられる。
つまり、式が2つになるので連立方程式になり、p,qが求まる。

ということなのです。おわかり！！。

参考）
{(x-a)^2*Q(x)}' = 2(x-a)Q(x) + (x-a)^2*Q'(x)
= (x-a) * { 2Q(x)+(x-a)* Q'(x) }

お礼

メチャクチャわかりやすかったです。
本当にありがとうございました。
また、よろしくおねがいします。

回答No.3

mister_moonlight

＞このあと、微分をするんですが、何で微分をするんですか？

f´(a)　が条件として与えられている以上、微分を考えなければならない事ぐらい分るだろうし、何で疑問が発生するんだろう？

この問題からも分るだろうが、f(x)が(x-a)^2 で割り切れるための必要条件は、f(a)＝f´(a)＝0　である。
これを知ってると、大変に便利な事が多い。
これを知って、もう一度、数Iの類似問題を復習してみてごらん、簡単に解ける問題が多い事を実感するだろう。

お礼

大変勉強になりました。色んな知識を独学することに喜びを覚える毎日です。
また、なにとぞよろしくお願いいたします。

回答No.2

naniwacchi

問題文で「f '(a)で表す」とあるので、
微分しないと始まらないというのもありますね。

#1さんの書かれているとおり、
微分することで 2つの係数（pと q）に対する 2つの条件を得ることができ、
係数を求めることができます。

微分するということを図形（グラフ）的に考えてみます。
（少し強引かもしれませんが）

仮に余りが０だとします。
すると、f(x)= (x-a)^2 * Q(x)と表されます。

これをグラフで考えると、f(x)は x= aで x軸(y= 0)に接していることになります。
方程式で言えば重解をもつということです。

2つのグラフ y= f(x)と y= g(x)が x= aで接するとき、

f(a)= g(a) かつ f '(a)= g '(a)

が成り立ちます。

f(x), g(x)が xの多項式であるとすると、
f(x)- g(x)は (x-a)^2を因数にもつことを示すことができます。
（f(x)-g(x)= (x-a)*Q(x) かつ f '(x)-g '(x)=(x-a)*q(x)より）

つまり、方程式 f(x)- g(x)= 0は x= aで重解をもつことになります。

これはあくまでも「余りが０」の場合です。
ただ、(x-a)^2が出てくることと微分が絡んでくることは少し見えてくるかなー（？？？）と思います。
ご参考まで。

お礼

本当にありがとうございました。
しっかり理解できました。
また、よろしくおねがいします。