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数学 微分 どなたか解答お願いします。

f(x)=x^3-3x^2-6x+5 について f'(x)=3(x^2-2x-2)である。 (1)f(x)をx^2-2x-2でわったときの商と余りを求めよ A, 商 x-1 余り -6x+3 (2)f(x)の極値を求めなさい (2)がわかりません。 ヒントにはA=BQ+R使ってと書いてあるのですが・・・ x^2-2x-2が怪しいとわかってもわかりません。 微分積分は苦手です。 どなたか教えていただけないですか?

質問者が選んだベストアンサー

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回答No.4

(2)の極値を求める問題ですが、 まずは極値をとるようなxを求めます。それは、 f'(x) = 0 を満たすxのことですね?すなわち x^2 - 2x - 2 = 0 を解けばいいわけです。ここでその2解をa,b(a<b)とおいておきます。このとき、当然のことながら a^2 - 2a - 2 = 0 (1) b^2 - 2b - 2 = 0 は成り立っています。 (計算すると a = 1 - √(3) , b = 1 + √(3) となります) つづいて、求める極値を考えます。極値とは f(a) と f(b) のことですね。したがって、代入したものがそのまま答えになるわけです。 f(a) = a^3 - 3a^2 - 6a + 5 f(b) = b^3 - 3b^2 - 6b + 5 これを力づくで計算しても、答えにはたどり着きますが、ヒント通り(1)の結果をありがたく使わせていただきましょう。 f(x)をx^2 - 2x - 2で割ったとき、商がx-1 , あまりが-6x+3 ですから f(x)は次のように変形できます。 f(x) = (x - 1)(x^2 - 2x - 2) -6x+3 aを代入して f(a) = (a - 1)(a^2 - 2a -2) -6a + 3 (2) ここで(1)と(2)を見比べて何か気づきませんか? (1)より a^2 - 2a - 2 = 0 だから f(a) の計算は、実は f(a) = - 6a + 3 だけでいいんです。これが簡単に解けるヒントだったんです。これなら計算ミスする心配もありませんよね? したがって f(a) = - 6*(1 - √(3)) + 3 = -3 + 6√(3) ということになります。bも同様です。

その他の回答 (4)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.5

←(No.1 補足) (2) への誘導として (1) が設けてある理由は、要するにその計算。 ヒントに A=BQ+R とあるのも、その話をしている。いいじゃん。 x^2-2x-2=0 を解いて f’(x)=0 となる x を具体的に求めてみると、 かなり香ばしい値が得られて、x^3-3x^2-6x+5 に代入するのはゲンナリする。 f’(x)=0 となる x に対しては f(x)=-6x+3 だということが知れていれば、 心が折れる前に値が求まる。ということ。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.3

それはダメ. ちゃんと「実際に f(x) の極値を与える x の値」を代入してください.

  • Mr_Holland
  • ベストアンサー率56% (890/1576)
回答No.2

>(2)f(x)の極値を求めなさい  極値では f'(x)=0 でしたよね。  f'(x)=0 となるxを求めて(2次方程式の解の公式)、 そのときのf(x)を求めて下さい。  (f(x)を求めるとき設問(1)で求めた余りを使うと計算が楽になります。)  そして増減表を書いて、求めた値が 極大値、極小値、いずれでもないのかを調べて下さい。 (3次関数の増減傾向から極大・極小を決めることもできますが、質問者さんの状況を察しますと まずは増減表を書いて求めた方がいいでしょう。)  以上の計算を進めてみて分からないところがありましたら、補足欄に書いて下さいね。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

「f(x) の極値を与えるような x」が f'(x) とどのような関係にあるか考えろ, ってことかなぁ....

TAGIA
質問者

お礼

極値を与えるときの導関数f'(x)はx軸と平行なので f'(x)=0、 このことからf'(x)=3(x^2-2x-2)=0より x^2-2x-2=0 これをf(x)の式に代入して、 (x^2-2x-2)(x-1)-6x+3=f(x) -6x+3=f(x) といった感じで答えでました。 あってますか?!

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