不思議な直角三角形

質問

先日、ある話を耳にしました。
「ある数字を思い浮かべ（aとします）、その数字を２乗し、２で割り、その数を差が２の二つの数に分ける（b,cとする）。するとa,b,cを３辺とする三角形は直角三角形になる」
たとえば、a=6とすると、二乗して36、÷２で１８、差が２の２数は８と１０となり、３辺が6,8,10の三角形は、比が３：４：５のご存知直角三角形になります。
たしかに、a=xとして、b,cを出し、三平方の定理を用いれば直角三角形であることは証明できます。しかし、なぜ２乗、÷２、差が2の2数という手順を踏む、ということが思い浮かんだのか、なんか不思議です。
どなたか不思議な方法をキッチリ説明できる、もしくは同じような面白い数学ネタを知っている方がいらっしゃいましたら、どうか教えていただきたいと思います。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

kei0817さん、こんにちは。
＞「ある数字を思い浮かべ（aとします）、その数字を２乗し、２で割り、その数を差が２の二つの数に分ける（b,cとする）。するとa,b,cを３辺とする三角形は直角三角形になる」

やっと、これの意味が分かりました。
ちょっと考えていきたいと思います。

ある数aを思い浮かべます。
その２乗を２で割ると
a^2/2
ですが、これを「差が２の２数に分ける」ので
それをb,cとすると
c=b+2とかけて、

a^2/2=b+c=b+(b+2)=2b+2
のようにかけますね。

ここで、
a^2=2(2b+2)=4b+4・・・(1)
のようになります。

さて、kei0817さんの考察をみていくと、
直角三角形になるのは、どうやら斜辺がcの直角三角形のようです。
ピタゴラスの定理から

c^2=a^2+b^2
をいえれば、a,b,cを３辺とする三角形が直角三角形であると証明できます。

c^2=(b+2)^2=b^2+4b+4=b^2+a^2←(1)より

となるので、cを斜辺として、直角三角形をなすことが分かります。これはいいんですよね。

＞たしかに、a=xとして、b,cを出し、三平方の定理を用いれば直角三角形であることは証明できます。しかし、なぜ２乗、÷２、差が2の2数という手順を踏む、ということが思い浮かんだのか、なんか不思議です。

逆に考えると、この種明かしは、たまたま
「斜辺が他のどれかの１辺よりも２だけ大きい直角三角形」
を考えてみたときに、

斜辺b+2　残りの辺b
とすると、もう一つの残りの辺は、ピタゴラスの定理から

√{(b+2)^2^b^2}=√(4b+4)

となるので、aとして
a=√(4b+4)
a^2=4b+4=2(b+2)=2c

となるので、ちょうど斜辺の２倍＝残りの辺の２乗
となるような数字を選んでくれば、成り立つことがいえますよね。

「差が２である」という条件で、かなり限定していますから
操作もしやすいんだと思います。
面白い問題ですね。

回答No.4

yuusukekyouju

ある数字を思い浮かべ（aとします）、その数字を２乗し、その数を差が1の二つの数に分ける（b,cとする）。するとa,b,cを３辺とする三角形は直角三角形になる
たとえばa=3とすると、二乗して9,差が1の２数は4と5となり、3辺が3,4,5の三角形は直角三角形となります。

これも同じ原理を使っています、こちらのほうが2で割らず差も1であることからシンプルでおもしろいと思いませんか。

回答No.2

sokamone

たぶん　こう考えるのが１番わかりやすいんじゃないでしょうか？

直角三角形の３辺が、ａ＜ｂ＜ｃのとき、
ａ＾２＋ｂ＾２＝ｃ＾２
が成り立つ。これを変形していく。
ａ＾２＝ｃ＾２－ｂ＾２
　　　＝（ｃ＋ｂ）（ｃ－ｂ）
ここで、適当な数ｋをとってくる。左辺をすこしいじって、
[（ａ＾２）／ｋ]・ｋ＝（ｃ＋ｂ）（ｃ－ｂ）
とすると、つぎのことが言える。
「正の数ａを２乗してｋで割る、その数を、差がｋになるような２つの正の数ｂ、ｃの和として書くと、ａ、ｂ、ｃは、三平方の定理ａ＾２＋ｂ＾２＝ｃ＾２をみたす。よって、これらはある直角三角形をつくる。」と。
ただし、ｂ、ｃが正の数になるためには、ｋ＞０かつ、ａ＞ｋが必要です。

ご質問の内容の場合、ｋは２です。

回答No.1

xdot

kei0817さん、こんにちは。
証明したと書いてあるのでわかると思うのですが、
３つの数は
a, (a^2/4)+1,(a^2/4)-1　
ですよね。
３平方の定理なのでそれぞれを2乗すれば（これをp,q,rとおく）、
p=a^2====================>a^2
q=(a^4/16)+(a^2/2)+1=====>b^2
r=(a^4/16)-(a^2/2)+1=====>c^2
ですね。
重要なのは、qとrの第1項と3項が等しいってことで第2項は符号だけが異なる。当然q-rは、第2項の2倍、つまりa^2と等しくなるので、p=q-r でありb^2=a^2+c^2となって三平方の定理は成り立つ。

何が言いたいかっていうのは、三平方の定理が成り立つように数を操作したっていうことにすぎないような気がします。
つまり、q-rのように差を作ったときにもとの数の2乗になるような数を考えたりしたんでしょうね。その為に２でわったりしたと思います。

ところで、a=1とかの場合c<0となるので三角形にはなりえないので注意したいところです。