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複素数平面についての質問(2)

下記の問題の解き方を詳しく教えて下さい。 (すっかり忘れているので基礎事項もお願いいたします。) 証明せよ。 (1)zz'=r(cosA+isinA)・r'(cosA'+isinA') =rr'(cosA+isinA)(cosA'+isinA') (2)z/z'=r(cosA+isinA)/r'(cosA'+isinA') =r/r'*cosA+isinA/cosA'+isinA' (3)z=2+2√3i, z'=√3+iのとき、それぞれの極形式は、 (1)z= (2)z'= であるから、 (3)zz'= (4)z/z'= どうぞよろしくお願いいたします。

みんなの回答

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

証明せよ…じゃなくて、説明せよ…なんですね。 複素数 z を複素平面上の点で表して、 原点からの距離を r、実軸正方向から反時計回りに測った角度を A と置くと、 z の実部は r cosA、虚部は r sinA となります。 簡単な平面幾何ですから、図を描いて確認してください。 z = (r cosA) + (r sinA)i = r(cosA + i sinA) ということです。 r を「z の絶対値」、A を「z の偏角」といい、 r と A とで z を表すことを「極形式」の表示といいます。 同様に、もうひとつの複素数 z' が、極形式で z' = r'(cosA' + i sinA') と書けたとしましょう。 (1)(2)は、r, r', (cosA + i sinA), (cosA' + i sinA') の 四者の掛け算・割り算で交換法則を使っているだけです。 (2)は、少し括弧を補ったほうがよいですね。 (3)は、上記の極形式の定義にしたがって、r, A を求める。 r = √{ 2^2 + (2√3)^2 } = 4。 cosA = 1/2, sinA = (√3)/2 より、A = π/3。 よって、z = 4{ cos(π/3) + i sin(π/3) }。 r' = √{ (√3)^2 + 1^2 } = 2。 cosA' = (√3)/2, sinA' = 1/2 より、A' = π/6。 よって、z' = 2{ cos(π/6) + i sin(π/6) }。 (4)は、(3)の結果を(1)(2)の式へ代入するだけです。

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.1

z=x+iy=rcosA+irsinA=r(cosA+i sinA) z'=x'+iy'=r'cosA'+i r'sinA'=r'(cosA'+i sinA') を代入し整理するだけ↓ (1)zz'= (2)z/z'= (3)z=2+2√3i, z'=√3+i、 (1)z=4{cos(π/3)+i sin(π/3)} (2)z'=2{cos(π/6)+i sin(π/6)} であるから、 (3)zz'=4*2{cos(π/3)+i sin(π/3)}{cos(π/6)+i sin(π/6)} =8{cos(π/3+π/6)+i sin(π/3+π/6)} =8{cos(π/2)+i sin(π/2)} (4)z/z'=(4/2){cos(π/3)+i sin(π/3)}/{cos(π/6)+i sin(π/6)} =2{cos(π/3)+i sin(π/3)}{cos(π/6)-i sin(π/6)} =2{cos(π/3-π/6)+i sin(π/3-π/6)} =8{cos(π/6)+i sin(π/6)}

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