高校 極限

質問

lim[x→－∞](x^2－1)e^x＝0

これの過程分かる方いらっしゃいますか？
どうか教えてください＞＜

回答No.1

WiredLogic

直感的には明らかですが、証明するのは、見たことが
ないと、相当難問の類だと思います。ただ、入試に出る
としても、何らかの誘導の小問はあるはずです。

まず、-∞ってのが、面倒なので、t = -x とおいて、
lim[x→-∞](x^2-1)e^x
= lim[t→+∞](t^2-1)e^(-t)
= lim[t→+∞](t^2-1)/e^t としておきます。

ここで、補題、x > 0 のとき、e^x > x^3/6 を証明します。
(ここんとこが、入試なら、小問１になるところ)
(何で、x^3/6 なのかは、見てると、段々解ってきます^^)

f(x) = e^x - x^3/6 とすると、
f'(x) = e^x - x^2/2
f"(x) = e^x - x
f'"(x) = e^x - 1 である、

y = e^x のグラフから、明らかに、x > 0 で、f'"(x) > 0、

よって、x > 0で、f"(x)は単調増加し、
f"(0) = 0 だから、x>0 で、f"(x) > 0、

よって、x > 0で、f'(x)は単調増加し、
f'(0) = 1/2 だから、x>0 で、f'(x) > 0、

よって、x > 0で、f(x)は単調増加し、
f(0) = 5/6 だから、x>0 で、f(x) > 0、

これで、補題が証明できました。

補題の文字をtに変えると、0 < t^3/6 < e^t

この不等式で、e^t = s とおくと、t > 0 のとき、s > 0 だから、
0 < t^3/6 < e^t ⇔ 0 < (log(s))^3/6 < s
⇔ 0 < (log(s))^2/s < 6/log(s)
ここで、t→+∞のとき、s→+∞、すなわち、log(s)→+∞ だから、
lim[s→+∞]6/log(s) = 0
よって、はさみうちの原理により、lim[s→+∞](log(s))^2/s = 0
すなわち、lim[t→+∞] t^2/e^t = 0

lim[x→-∞](x^2-1)e^x = lim[x→+∞](t^2-1)/e^t
= lim[t→+∞]t^2*(1 - 1/t^2)/e^t
= lim[t→+∞]t^2/e^t * lim[x→+∞](1 - 1/t^2)
= 0 * 1 = 0