高校 極限

質問

lim[x→－∞](x^2－1)e^x＝0

これの過程分かる方いらっしゃいますか？
どうか教えてください＞＜

回答No.5

noname#128765

lim(x→-∞)df(x)/dx<0のとき、lim(x→-∞)f(x)=-∞が成り立つはずない。
{x|x<T(<0)}においてf(x)は狭義な単調減少になるからlim(x→-∞)f(x)=＋∞に
なる。これは{x|x<T(<0)}でf(x)<0であることに矛盾。どちらにしても
lim(x→-∞)df(x)/dx<0とlim(x→-∞)df(x)/dx>0はとらないので
lim(x→-∞)df(x)/dx＝0
g(x)についても同様。
lim(x→-∞)dg(x)/dx>0なら　lim(x→-∞)g(x)=＋∞は成り立たず
lim(x→-∞)g(x)=-∞になるから{x|x<S(<0)}でg(x)>0に矛盾。
よってlim(x→-∞)dg(x)/dx<0とlim(x→-∞)dg(x)/dx>0はとらず
lim(x→-∞)dg(x)/dx=0
このような議論からlim(x→-∞)x^2e^x=0で元の極限はlim(x→－∞)(x^2－1)e^x＝0

と成立。

回答No.4

alice_44

感覚的な話として、t が大きいと e^t は t のどんな多項式よりも大きい
ことは押さえておいたほうがよいです。それを、数式で示すには、
e^t をテイラー展開して、e^t = 1 + t + (1/2)t^2 + … + (1/n!)t^n + …
t > 0 のとき右辺の各項が正なので、適当なところで打ち切ると、
たとえば、e^t > 1 + t + (1/2)t^2 + (1/6)t^3。ここから、
t > 1 のとき 0 < (t^2 - 1)e^(-t) < (t^2 - 1)/{ 1 + t + (1/2)t^2 + (1/6)t^3 }
が出ます。t = -x と置いて、x→-∞ の極限でハサミウチをすれば完了。

回答No.3

noname#128765

lim(x→-∞)e^x=0であることは明らかなので、lim(x→-∞)x^2e^xについて考えてみる。
まず、その極限を調べるために次の関数を導入してx→-∞での挙動を考える。
f(x)=xe^xとおき、これは
　　　　　　　　　　df(x)/dx=e^x＋f(x)・・・・・(ア)　　
という微分方程式が成り立つ。
ここでx=-1で極小値(x<0では最小値)-1/eをとり
f(x)>-1/e (x<0)が成り立つことは増減表により認めてもらうことにする。
そしてさらに
T(<0)を十分に小さく取って、任意のx<Tに関しても(ア)が成立することは微分方程式の解の一意性定理から分かる。lim(x→-∞)df(x)/dx≠0とすると
x<Tならf(x)<0より
lim(x→-∞)df(x)/dx　>0ならば　(ア)よりlim(x→-∞)e^x>0となる。しかしこれは矛盾。
逆にlim(x→-∞)df(x)/dx<0とすれば、
lim(x→-∞)f(x)=-∞　にほかならずf(x)>-1/e (x<0)が成り立つことに矛盾する。
したがって
lim(x→-∞)df(x)/dx=0で(ア)よりlim(x→-∞)f(x)=0　・・・・(イ)
次に
　g(x)=x^2e^xとおいて同じような考察をする。
　　　　　　　　　　dg(x)/dx=2xe^x＋g(x)・・・・・(ウ)
が成り立ち、g(x)はx=-2で極大値(最大値)4/e^2をとることは認めて
lim(x→-∞)dg(x)/dx≠0とし矛盾を導く。
S(<0)を十分小さくとって任意のx<Sについても(ウ)が成り立つことは分かるので
x<Sならg(x)>0より　lim(x→-∞)dg(x)/dx　<0ならば(ウ)より
lim(x→-∞)2xe^x＜0　これは先ほどの(イ)より矛盾。
lim(x→-∞)dg(x)/dx>0とすると　lim(x→-∞)g(x)=＋∞にほかならず
g(x)はx=-2で極大値(最大値)4/e^2をとることに矛盾。
よってlim(x→-∞)dg(x)/dx=0 で(イ)と(ウ)からlim(x→-∞)g(x)＝0
以上からlim(x→-∞)x^2e^x=0であることから
lim(x→-∞)(x^2-1)e^x=0

回答No.2

takanasikaede

なるべくわかりやすく解説してみたいと思います。

まず、
lim[x→－∞]（x^2－1）e^x
=lim[x→－∞]（x^2*e^x－e^x）
と変形します。
ここで、（x^2*e^x－e^x）について考察します。

－e^xはx→－∞は
－1/e^xがx→∞のときと同じなので、
lim[x→－∞]（－e^x）＝0
です。

つぎにx^2*e^xは一つずつに分けて考えると
x→－∞のときのx^2は
x→∞のときのx^2と同じ値になるので、
lim[x→－∞]（x^2）
＝lim[x→∞]（x^2）＝∞

x→－∞のときのe^xは
eの乗数が常に負なので、
x→∞のときの1/e^x同じ値になり
lim[x→－∞]（e^x）
＝lim[x→∞]（1/e^x）＝0

つまり、
lim[x→－∞]（x^2*e^x）
＝lim[x→∞]（x^2/e^x）
と書き換えられ、

x→∞のときx^2＜e^xであることから
分母がx^2よりも大きくなるため、
lim[x→－∞]（x^2*e^x）＝0

つまり、
lim[x→－∞]（x^2－1）e^x＝0
といえる。

追記
何故x^2＜e^xと言えるのか不思議に思うかもしれないので説明します。

まず、
x^2＜e^xが成り立つと仮定して
両辺に対数を取り
logx^2＜loge^x
2logx＜xloge
2logx＜x
0<x- 2logx
これはx→∞のとき必ず成り立つとわかるので（グラフで判断）

x→∞のときx^2＜e^xといえる。

回答No.1

WiredLogic

直感的には明らかですが、証明するのは、見たことが
ないと、相当難問の類だと思います。ただ、入試に出る
としても、何らかの誘導の小問はあるはずです。

まず、-∞ってのが、面倒なので、t = -x とおいて、
lim[x→-∞](x^2-1)e^x
= lim[t→+∞](t^2-1)e^(-t)
= lim[t→+∞](t^2-1)/e^t としておきます。

ここで、補題、x > 0 のとき、e^x > x^3/6 を証明します。
(ここんとこが、入試なら、小問１になるところ)
(何で、x^3/6 なのかは、見てると、段々解ってきます^^)

f(x) = e^x - x^3/6 とすると、
f'(x) = e^x - x^2/2
f"(x) = e^x - x
f'"(x) = e^x - 1 である、

y = e^x のグラフから、明らかに、x > 0 で、f'"(x) > 0、

よって、x > 0で、f"(x)は単調増加し、
f"(0) = 0 だから、x>0 で、f"(x) > 0、

よって、x > 0で、f'(x)は単調増加し、
f'(0) = 1/2 だから、x>0 で、f'(x) > 0、

よって、x > 0で、f(x)は単調増加し、
f(0) = 5/6 だから、x>0 で、f(x) > 0、

これで、補題が証明できました。

補題の文字をtに変えると、0 < t^3/6 < e^t

この不等式で、e^t = s とおくと、t > 0 のとき、s > 0 だから、
0 < t^3/6 < e^t ⇔ 0 < (log(s))^3/6 < s
⇔ 0 < (log(s))^2/s < 6/log(s)
ここで、t→+∞のとき、s→+∞、すなわち、log(s)→+∞ だから、
lim[s→+∞]6/log(s) = 0
よって、はさみうちの原理により、lim[s→+∞](log(s))^2/s = 0
すなわち、lim[t→+∞] t^2/e^t = 0

lim[x→-∞](x^2-1)e^x = lim[x→+∞](t^2-1)/e^t
= lim[t→+∞]t^2*(1 - 1/t^2)/e^t
= lim[t→+∞]t^2/e^t * lim[x→+∞](1 - 1/t^2)
= 0 * 1 = 0