積分で表された関数の極限の問題です

質問

添付画像の問題がわかりません。最初に定積分を行うのでしょうがうまくいきません。回答をお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

f(t)=e^t/(1+t^2) の原始関数をF(t)とすると、

∫[2→x]f(t)dt=F(x)-F(2)　なので、

lim[x→2]1/(x-2)∫[2→x]f(t)dt
=lim[x→2](F(x)-F(2))/(x-2)

これは微分の定義そのものです。

与式=F'(2)=f(2)=e^2/5

お礼

定義で示すのですね。積分解く事に躍起になっておりました；
迅速な回答ありがとうございます。

回答No.3

spring135

ロピタルの定理より

lim(x→2）{∫(2→x)(e^t/(1+t^2))dt}/(x-2)

の分子分母をxで微分して

lim(x→2）{∫(2→x)(e^t/(1+t^2))dt}/(x-2)
=lim(x→2）)(e^x/(1+x^2)
=e^2/5

お礼

私も最初ロピタルの定理を用いたのですが、数学３Ｃの復習なのでダメだと言われました；；
それもおかしな話ですよね；
回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#126309

導関数の定義使って示すのが普通だけど、xをx>2で任意に固定して
積分の平均値の定理より
∫(2→x)e^t/(t^2＋1)dt =(x-2)e^Θ/(Θ^2＋1)　　　(2<Θ<x)
より
∫(2→x)e^t/(t^2＋1)dt /(x-2)＝e^Θ/(Θ^2＋1)

x→2とするとΘ→2より　e^Θ/(Θ^2＋1)→e^2/5

お礼

いろいろな解法があるのですね。
回答ありがとうございました。