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非ユークリッド幾何での円
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球面幾何ですか。それなら、 円の面積は、ほぼ半径だけで決まりますね。 円周で区切られたどっち側の面積か といて問題は残るけれども。 そこは、とりあえず小さいほうの面積を採る ことにしておきましょう。 曲率 ρ の実2次リーマン空間上の半径 r の円なら、 実3次ユークリッド空間内の半径 1/ρ の球面上、 測地線半径 r、すなわち頂角 2rρ の円蓋で表されます。 その面積 S は、回転体の面積公式を使って、 y = √((1/ρ)の2乗 - xの2乗) の下で S = ∫[x = (1/ρ)cos(rρ) → 1/ρ] 2πy√(1 + (dy/dx)の2乗) dx. すなわち、S = (2π/ρ) ∫[x = (1/ρ)cos(rρ) → 1/ρ] dx = (2π/ρの2乗)(1 - cos(rρ)).
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
あ、しまった。 円周のどっち側云々は、気の迷い。 No.3 の計算だけで ok です。
- HANANOKEIJ
- ベストアンサー率32% (578/1805)
役に立つかどうか、わかりませんが、岩波書店「解析概論」p.372 99章直交座標の(7)、(8)の公式で、求められそうです。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
それは、まず、いま対象としている具体的な 非ユークリッド幾何学の上で、「円」を定義してからだ。 そして、その定義の下で 「円」の面積が「半径」だけで決まるのかどうか 考えてみること。
お礼
素早いご回答ありがとうございます。 説明不足で申し訳ありません、球面幾何を想定しています。この場合は半径のみで決まると考えています
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お礼
ありがとうございます!参考にします。