線積分の問題です。
線積分の問題です。
(x,y)をf(x,y)=(u(x,y),v(x,y))∈R^2に写すC^1級写像f:R^2→R^2が、任意の(a,b)∈R^2に対して、
max{|u_x(a,b)|,|u_y(a,b)|,|v_x(a,b)|,|v_y(a,b)|}≦c
を満たすと仮定する。cは点(a,b)の選び方によらない正定数でc＜1/2をみたす。また各(a,b)∈R^2に対し、||(a,b)||=sqrt(a^2+b^2)とおく。
γ:[0,1]→R^2で
|u(γ(1))-u(γ(0))|≦int_0^1{sqrt(u_x(γ(t))^2+u_y(γ(t))^2)sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)}dtは成立している
任意のP,Q∈R^2に対して||f(P)-f(Q)||≦2c||P-Q||を示せ。
という問題で、
||f(P)-f(Q)||=sqrt(|u(P)-u(Q)|^2+|v(P)-v(Q)|^2)
となり、それぞれ
|u(P)-u(Q)|^2≦2c^2||P-Q||^2
|v(P)-u(Q)|^2≦2c^2||P-Q||^2となればよいので、
p,q∈[0,1],γ(p)=P,γ(q)=Qとおくと
|u(P)-u(Q)|≦int_q^p{sqrt(u_x(γ(t))^2+u_y(γ(t))^2)sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)}dtとなる。
この不等式をcと||P-Q||だけで表したいのですが、どうすればよいですか？
よろしくお願いします。
お礼
＞tに関する積分に直した後、部分積分を使って計算、という手順でした。 私も同じ計算でした。 考え方が合っていて安心しました。 どうも、ありがとうございました。