球体の表面積

質問

球の表面積を添付してある図（わかりづらくてすみません）のように求めてみませたが、
正解の４πｒ＾２になりませんでした。
何か決定的に考え方が違うのかと思って質問させてもらいました。
どなたかわかる方、ご指導よろしくお願いします

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

回転体の表面積（曲面積）を求めるには、少し足りない部分があります。
いまの回答に足りないものは、一言でいえば「幅」です。

回転体である球の表面積を求めるには、
「りんごの皮むきのように、細く皮をむいて、それらを寄せ集める」
ということになります。
この細くむいた皮には「幅」がありますね。これが立てた計算には含まれていません。

計算をする方針としては、次のようにします。
・まず、皮の「幅」を求めるために、曲線上における微小な「線の長さ」を求めます。
これは「曲線の長さ」で習った方法です。
微小な線の長さ＝線素はピタゴラスの定理から
ΔL
＝ √{ (Δx)^2+ (Δy)^2 }
＝ √{ 1+ (Δy/Δx)^2 }* Δx
→ √{ 1+ (dy/dx)^2 }* dx　（Δx→ 0として）

・あとは、この線素をぐるっとまわした細い皮の面積を求めます。
これは質問でも書かれていたような計算でＯＫです。

・細い皮を -r≦ x≦ rで寄せ集めれば、求めたい面積になります。

つい、先日にも回転体の面積の質問があったので、参考として URLをつけておきます。
http://okwave.jp/qa/q6472151.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6472151.html

お礼

なるほど、公式にある√｛(１+(dy/dx)^2｝はピタゴラスからきてたんですね。
解決しました！ありがとうございます。

回答No.3

hugen

「断面積を積分すると体積」は、dV/dx=断面積 　だったら。
「断面の長さをｘで積分すると表面積になる」は、類推に過ぎない。
これがいえるためには
dS/dx=断面の長さ　、　　　　　　を確認する必要がある。

回答No.2

info22_

回転体表面積の公式は質問者さんの式は #1も助言されているように間違いで、
参考URL：http://www2.ocn.ne.jp/~atel.a/math/hyoumenseki.html
にあるように以下の式

S=2π∫[-r,r] |y|√{1+(dy/dx)^2}dx…(1)

（断面積=2πyと幅「dx」の微小な曲線の長さ＝√{1+(dy/dx)^2}の積が，
「周囲の」側面積になります）

で計算します。
球の場合の表面積は
S=2π∫[-r,r] |y|√{1+(-x/y)^2}dx…(2)
= 2π∫[-r,r] √(y^2+x^2)dx
= 2π∫[-r,r] rdx
=2πr[x] [x:-r,r]
=2πr(2r)=4πr^2

参考URL：

http://www2.ocn.ne.jp/~atel.a/math/hyoumenseki.html