簡単な回転面の曲面積の問題なんですけど・・・

質問

なかなか答えが合いません・・・。

ｓｉｎｘをｘ軸の周りに1回転して得られる

回転面の曲面積なんですが（０≦ｘ≦π）

途中式略・・・ｔ＝ｃｏｓｘで

与式＝２π・∫√（１＋ｔ＾２）ｄｔ（‐１から１）

これはすでに間違っていますか？

間違っていたら解き方も教えてほしいです。

お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>与式=2π∫[-1,1] √(1+t^2)dt
=4π∫[0,1] √(1+t^2)dt
ここまでは合っていますよ。

S=2π∫[0,π] sin(x)√{1+cos^2(x)} dx
=4π∫[0,π/2] sin(x)√{1+cos^2(x)} dx　（∵曲面立体の対称性から）
=4π∫[1,0] √(1+t^2)(-1)dt (cos(x)=tで置換積分)
=4π∫[0,1] √(1+t^2)dt

ここで
I=∫√(1+t^2)dt
=t√(1+t^2)-∫t^2/√(1+t^2)dt (部分分数展開)
=t√(1+t^2)-∫(1+t^2-1)/√(1+t^2)dt
=t√(1+t^2)-∫(1+t^2)/√(1+t^2)dt+∫1/√(1+t^2)dt
=t√(1+t^2)-∫√(1+t^2)dt+∫1/√(1+t^2)dt
=t√(1+t^2)-I+∫1/√(1+t^2)dt (Iを左辺に移項)
2I=t√(1+t^2)+∫1/√(1+t^2)dt
I1=∫1/√(1+t^2)dt (√(1+t^2)=u-tで置換積分)
=∫1/√(1+t^2)dt=∫du/u=log|u|+C=log{x+√(1+x^2)}
2I=t√(1+t^2)+log{x+√(1+x^2)}+2C
I=(t/2)√(1+t^2)+(1/2)log{x+√(1+x^2)}+C

S=4π[I} [x:0,1]
=2π{√2+log(1+√2)}

お礼

こんなに丁寧に詳しく教えてもらって
本当にありがとうございます。（＾ｖ＾）

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
やはり「与式」の元の形は書いておかないと、どういう式を立てたのかが・・・

元の式は、おそらく次の式だと思います。
2π* ∫[0,π] |sin(x)|* √(1+cos^2(x)) dx

0≦ x≦πならば、0≦ sin(x)≦ 1なので絶対値記号はそのまま外れます。
あとは cos(x)＝ tと置けば、書かれているとおりになります。
なので、合ってます。

お礼

ありがとうございます。