実数aの範囲についての質問です

質問

次の式を同時に満たす実数x,y,zの組がただ１つであるように実数aの範囲を定めたものはどれか。次の中から選べ。

x+2ay-(1+a^2)z=1, x+(a^2)y-az=1

1 a<=1, a>=1
2 0<a<=1
3 0<=a<=1
4 a<1, a>1
5 1<=a<2

なのですがどうやって計算していいのかわかりません。基礎の質問とは思いますが、ご回答の方お願いいたします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

y>=0, z>=0の条件が加わると、

xの条件がないので、最初の２式からxを消すと、
(2a-a^2)y-(a^2+1-a)z=0

a^2+1-a=(a-1/2)^2+3/4>0　なので、
z=(2a-a^2)y/(a^2+1-a)　より、
2a-a^2<0　のとき、y=z=0がただ１つの解となる。

2a-a^2<0　より、
aの範囲は、a<0, a>2　となりますが、
これに合うものが１～５の番号の中にありません。

まだ何か問題が違っていませんか。

お礼

重ねてのご回答誠にありがとうございます。また詳しい途中式の方をご教授くださり誠に感謝しています。
ご指摘のほうもありがとうございます。
大変申し訳ないです、問題文をよく見直してみたところ、

>x+(a^2)y-az=1

の部分がx+(1+a^2)y-az=1となっておりました。せっかく計算していただいたのに誠に申し訳ございません。

回答No.1

nag0720

x+2ay-(1+a^2)z=1
x+(a^2)y-az=1

この２つの式は３次元空間上の平面の式とみなすことができます。

２つの平面があったとき、その位置関係は、
・同じ平面である。
・並行な平面で、交わっていない。
・交わっている（共通部分は直線になる）。
の３通りしかありません。

いずれにしろ、「２つの式を同時に満たす実数x,y,zの組がただ１つである」ということはあり得ません。

問題が間違っていませんか？

お礼

ご回答の方ありがとうございます。
また問題の不備を指摘してくださり誠にありがとうございます。

x+2ay-(1+a^2)z=1
x+(a^2)y-az=1

の式にプラス、y>=0, z>=0　というものがあったことを見落としておりました。
しかし、どちらにしろ、ｙ、ｚの具体的な数字を決めているわけではないので式を同時に満たす実数x,y,zの組がただ１つであるということはあり得ないのでしょうか？