実数

質問

実数x,yが不等式(x＾2)＋xy-2(y＾2)＋6y-4≧0を満たす時
(x＾2)＋(y＾2)の最小値は4/5です。
がこの問題の解き方を教えてください。

(x＾2)＋xy-2(y＾2)＋6y-4≧0
(x＾2)＋xy-2(y-2)(y-1)≧0
(x-y＋2)(x＋2y-2)≧0
ここまでしか分かりません。

(1)(x＾2)＋(y＾2)=kとおくのか？
(2)√kは原点(0,0)との距離と表すのか？
どうして↑のことを考えるのか？
(3)
x-y＋2≦0,x＋2y-2≦0 (x≦-(2/3))
x-y＋2≧0,x＋2y-2≧0(x≧-(2/3))
となるのか？
例えば
(x-a)(x-b)≧0のときx≦a,b≦xまたはX≦b,a≦xですが。↑の範囲は2組とも不等式の向きが同じ。
またx=-(2/3)はどこから現われたのでしょうか？

(4)(0,0)とx-y＋2=0の距離d1と
(0,0)とx＋2y-2=0の距離d2を求めるのでしょうか？
(5)↑を求めると
d1=√2,d2=2/√5

(6)d1＞d2より(x＾2)＋(y＾2)の最小値は4/5となりますがこの問題の意味がよく分かりません。
図を描くとどんな図になるのでしょうか？

回答No.2

einart · ベストアンサー

AB≧0

を考えてみると、この式は

　(1)　A≧0　かつ　B≧0
　(2)　A≦0　かつ　B≦0

のどっちかを満たせばよいですね。この問題では

　A・・・x-y＋2　　　　B・・・x＋2y-2

と考えてください。
先ずは(1)の時、式を整理して

　x＋2≧ｙ　かつ　ｘ-2≧-ｙ

つまり

　A＝0の直線の下側　かつ　B=0の直線の上側　　

になりますね。グラフではペケ字状に直線が書けて、領域が4つに分割されているので（グラフの形から(上)(右)(下)(左)と言わせていただきます）、それの(右)にあたります。
同様に(2)のときを考えると点の集合は(左)になります。

この　(右)と(左)　が　(x＾2)＋(y＾2)　の定義域ということですね。

＞(2)√kは原点(0,0)との距離と表すのか？
＞どうして↑のことを考えるのか？

さてここで半径√kの輪を考えてください。その式は

　　(x＾2)＋(y＾2)＝ｋ

ですね。√kは原点(0,0)との距離！これはとても便利です。
グラフを書いてｋを0から大きくしていって下さい。それで最初に　(右)と(左)　にぶつかる瞬間が答えですね。

これは最短距離を考えればよいだけなので、直線に直角になるように線分を描いてその長さを確かめます。今回は2つですね。

これがこの問題解答の流れです。僕の場合は直線をピッと引いたら、条件を満たすのは上か下かと考えて、上の場合は「上ですよ」という矢印を書きます。
＞x=-(2/3)はどこから現われたのでしょうか？
それは直線の交点です。グラフを書くと分かるでしょう。

高校数学は思いっきり噛み砕いた自分の理解に自身を持って大丈夫です。何より先ずは直感的に！（あとは反復作業で慣れる）

お礼

どうもありがとうございます。
何度も解説を読み、図を描いたら段々理解できるようになりました。
ご返事遅くなりましたがどうもありがとうございました。

回答No.1

kkkk2222

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(1)(x＾2)＋(y＾2)=kとおくのか？
(x＾2)＋(y＾2)=（半径）＾２
(x＾2)＋(y＾2)=Ｒ＾２　の方が判り良いですが。
k＝（半径）＾２と認識していれば・・・。

(2)√kは原点(0,0)との距離と表すのか？
ＹＥＳ
どうして↑のことを考えるのか？
(x＾2)＋(y＾2)の最小値→kの最小値→√kの最小値
→√kの最小値
ーーーー
此処まで叩いて＜円の方程式＞が未知なのでは、と気がつきました。
＜円の方程式＞が未知では、この問題は解けません。
（杞憂）ながら、＜円の方程式＞でＷＥＢ検索すると、幾らでも出ます。一つだけ張ります。

http://cgi.search.biglobe.ne.jp/cgi-bin/search2-b?search=%8C%9F%8D%F5&q=%89%7E%82%CC%95%FB%92%F6%8E%AE&bt01.x=34&bt01.y=7

と思ったら＜基本＞が出てきません。
ＴＥＸＴを調べて・・・・。
ーーーー
→√kの最小値→円の半径の最小値。
→円と直線が接するとき、半径の最小値。
→円と直線の接点Ｐ、ＯＰと直線は垂直。
→距離の公式が使える。
→Ｏ（０、０）と二つの直線の距離を求める。
→小さい方が、最小値。（厳密には自乗して４／５）
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(3)
x-y＋2≦0,x＋2y-2≦0 (x≦-(2/3))
x-y＋2≧0,x＋2y-2≧0(x≧-(2/3))
となるのか？

此処まで来ると（杞憂）ではないようです。
＜不等式　領域＞で検索の要あり。
http://cgi.search.biglobe.ne.jp/cgi-bin/search2-b?search=%8C%9F%8D%F5&q=%95s%93%99%8E%AE%81@%97%CC%88%E6&bt01.x=66&bt01.y=15
ーーー
(x-a)(x-b)≧0のときx≦a,b≦xまたはX≦b,a≦xですが。↑の範囲は2組とも不等式の向きが同じ。
＊此の様に考えると、ＣＡＯＳ。
ーーー
またx=-(2/3)はどこから現われたのでしょうか？
＊x=-(2/3)は不要ですが、２直線の交点のＸ座標。

途中省略。

＞＞図を描くとどんな図になるのでしょうか？
＊全ては、此処から始まります。