数学

質問

すべての実数にx,yに対して不等式
a(x＾2+y＾2)≦x＾2+3xy+5y＾2≦b(x＾2+y＾2)であるとき
最大のa＝?
最小のb＝?
回答よろしくお願いします。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

どうせ判別式を使うなら、そのままでも使える。

(1-a)x＾2＋3xy＋(5-a)y＾2≧0が常に成立する。
1-a＝0の時、この不等式は　3xy＋4y＾2　となり常には成立しない。
よってこの不等式が常に成立するから、1-a＞0　で　判別式≦0.　
計算すると、1-a＞0　から　a≦1/2。
従って、求める最大のaの値は　1/2。

同じ方法で、b の値も求められる。自分で試してみたらいいだろう。

問題の見かけにだまされないように、できるだけ問題を簡単にすること。
それができるかどうかで、回答者を含め、実力のレベルがわかる。

回答No.3

mister_moonlight

ちょつと訂正。

＞xy≠0の時

この書き方は良くない。xとyが同時に0にならないとき、に訂正。
同じ事だが、x＾2＋y＾2≠0　の時　でも良い。

回答No.2

mister_moonlight

ごちゃごちゃ考えなくても、判別式だけで片がつく。
単なる最大値と最小値の問題で、しかも　xとyの比だけが問題なんだから。。。。

x＝y＝0のとき、常に成立。
xy≠0の時　a≦(x＾2+3xy+5y＾2)/(x＾2+y＾2)≦b　と変形する。
y＝mx　とすると　a≦(1+3m+5m＾2)/(1+m＾2)≦b であるから、(1+3m+5m＾2)/(1+m＾2)の最大値・最小値を求める事になる。
k＝(1+3m+5m＾2)/(1+m＾2)として、分母を払うと、(5-k)m＾2＋m＋(1-k)＝0
5-k＝0のとき、3m＝4　だから　解の一部。
5-k≠0の時。判別式≧0より　(2k-11)*(2k-1)≦0　→ 1/2≦k≦11/2
以上から、5-k＝0　を含めて　1/2≦k≦11/2　であるから、求めるものは、(a、b)＝(1/2、11/2)。

回答No.1

Mr_Holland

変数x,yを　x=rcosθ、y=rsinθ　とおいて不等式を書き換えて3辺を整理してください。
　そうすると　a≦（中辺）≦b　の形にできると思います。

　中辺は、三角関数の半角・倍角の公式や合成を使って　Asin(2θ-α)+B または　Acos(2θ+α)+B の形にできます。

　あとは、-1≦sin(2θ-α)≦1, -1≦cos(2θ+α)≦1 であることを考えると、最大のaと最小のbがもとめられると思います。

　よろしければ参考にしてください。