数学I\Aを勉強中です

質問

社会人になって数学I\Aを解いてます。
解答への道順が分かりません。

次の条件を満たす自然数i,j,kを考える。
i<=j<=kかつ1/i+1/j+1/k=1

1.この時、iが取りうる最大の値を求めなさい。

2.この条件を満たすi,j,kの組は全部で何通りありますか？

地道に考え、［1/2+1/4+1/4］と［1/2+1/3+1/6］は出てきましたが、規則的なものがさっぱり分かりません。

勉強から相当ブランクがあるので 大変困ってます。 よろしくお願いします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

a≧b≧c、1/a＋1/b＋1/c＝1　‥‥(1)　から、1/c≧1/b≧1/aであるから、1/a＋1/b＋1/c≦3/c　→　1≦3/c　c≠1より　2≦c≦3
c＝3の時、(1)は　1/a＋1/b＝2/3　→　3(a＋b)＝2ab　→　6(a＋b)＝4ab　→　(2a-3)*(2b-3)＝9。
2a-3≧2b-3　から、(2a-3、2b-3)＝(9、1)、(3、3)
c＝2の時、(1)は　1/a＋1/b＝1/2　→　2(a＋b)＝ab　→　(a-2)*(b-2)＝4。
a-2≧b-2　から、(a-2、b-2)＝(4、1)、(2、2)

続きは、自分でやって。

お礼

1.最大値は3
2.全部で4通り ですね!?

ありがとうございました。最終的な計算式まで出していただきとても助かりましたm(_ _)m

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
整数問題でよく見かけるものですね。＾＾

「整数であること」をうまく利用して、「絞り込み」をおこなっていきます。
(1)は絞り込みのための前フリになっていますね。

その(1)ですが、
ｉ≦ ｊ≦ ｋより 1/ｉと 1/ｊと 1/ｋの大小関係がどうなるかを考えてみてください。
それを与えられている等式に当てはめると、ｉについての条件が与えられます。

(2)は、(1)で求めたｉのとり得る範囲で場合分けをしていきます。
つまりは、ｉ＝ 1のとき、ｉ＝ 2のとき・・・ということです。

＞地道に考え、［1/2+1/4+1/4］と［1/2+1/3+1/6］は出てきましたが、
もっと「ベタ」な組合せが一つありますよね。
「ベタッと均す」ような組合せがあります。

お礼

考えるヒントになりました。ありがとうございますm(_ _)m