[高校数学A]組合せの問題

質問

１から１４までの１４個の自然数のうち、異なる３個を選んで組を作る。
このとき、３の倍数を少なくとも１個含む組はいくつあるか。

という問題ですが、模範解答は14C3-10C3=244としています。

自分は、初めに４個の３の倍数のうち１個選び、残り１３個のうち２個選ぶと考えて4C1*13C2=312としましたが、どこが不適なのかがよく解りません。

教えて頂ければ有難いです、宜しくお願いします。

回答No.1

ESE_SE · ベストアンサー

模範解答は
「全ての組合せから３の倍数を含まない組合せを引いた数」なので、
3の倍数が1個のケース・2個のケース・3個のケースが含まれます。

質問者さんの回答は見かけ上これに一致しているように見えますが、
一つめ・二つめ・三つめを並べたときに
・３，６，１
・６，３，１
といった組合せが重複してカウントされることになるので不適ですね。

お礼

なるほど、ダブりが出るのですね。
よく解りました、有難うございました。