数学A、命題と論証の質問

質問

次の命題p、qについてp⇒qの真偽を
集合を用いて答えよ。

p:自然数nは8の倍数である。
q:自然数nは4の倍数である。

これについて解答には
8の倍数である自然数の集合をP、
4の倍数である自然数の集合をQとすると
P⊂Q(PはQの部分集合である)なので
p⇒qは真である。

と書かれているのですが
pとPは何がどう違うのか、qとQは何がどう違うのか
また、P⊂Qならば何故p⇒qが真なのかが
もうひとつよくわかりません。

具体例等を示して説明していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

boiseweb

p,q は正確には（「命題」ではなく）自然数を表す変数 n についての「述語」あるいは「条件」と呼ぶべきものです．
p,q はそれ自体では真か偽かが定まっていません．値が決まっていない変数 n を含むからです．変数 n に，3なり8なり，自然数の値を代入すれば，その都度 p,q が真か偽かが定まります．

自然数を表す変数 n についての述語 p に対して，「n に代入すると p が真になる自然数をすべて集めた集合」を考えることができます．こうしてできる集合を，述語 p の真理集合といいます．質問文中の P,Q はそれぞれ述語 p,q の真理集合です．

述語は（変数を含んだ）「文」，真理集合は「集合」です．だから，述語とその真理集合は別のものです．
述語 p は「自然数 n は8の倍数である」という「文」で，述語 p の真理集合 P は {8,16,24,...} という「集合」です．

そのうえで，述語の含意関係（⇒）と真理集合の包含関係（⊂）には，自然な対応関係が成り立っているのです．
こういう，述語と真理集合の相互関係を，きちんと理解すべきです．

高校の教科書や参考書に限らず，大学レベルの教科書でも，
-- 「命題」と「述語」の区別
-- 「述語」と「真理集合」の区別
があやふやな本はたくさんあります．そして，高校教員など教える側の人々にも，きちんとわかっていない（考えていない？）人が少なくありません．下記の本は，「命題」「述語」「真理集合」をきっぱりと区別したうえで，それらの相互関係を説明しながら数学の論理を解説している参考書のひとつです．

嘉田勝「論理と集合から始める数学の基礎」（日本評論社）

下記の質問に対する私の回答も参考にしてください．

http://okwave.jp/qa/q4144011.html の #4（ベストアンサー）

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蛇足ですが，質問文中に引用された（参考書か何かの？）解答はダメダメです，というより，問題自体が変です．
なぜダメかというと，「p⇒q は真なので P⊂Q である」こそが妥当な推論であって，「P⊂Q は真なので p⇒q である」は本末転倒だからです．なにしろ，「集合 P,Q の間に包含関係 P⊂Q が成り立つ」ことの理由は，まさに「述語 p,q の間に含意関係 p⇒q が成り立つ」ことなのですから．
そもそも，p,q を具体的な述語で定めておきながら p⇒q が成り立つ理由を問わないのは，出題のしかたとしておかしいです．「P⊂Q である」と主張しても，p⇒q が成り立つ理由について何も言ったことになりません．p⇒q が成り立つ理由は，自然数についての知識を使って直接説明すべきです．
たぶん，出題者が論理や集合についてきちんと考えずに，いいかげんに問題を作ったのだと思います．

回答No.2

girlkeeper

命題ｐはあらゆる自然数ｎについて検証（？）できます。例えば

　　ｎ＝３なら、ｎは８の倍数ではないので偽
　　ｎ＝８なら、ｎは８の倍数なので真
　　ｎ＝１０なら、ｎは８の倍数ではないので偽
　　ｎ＝１６なら、ｎは８の倍数なので真

一方、集合Ｐはｐが真である自然数だけをかき集めたものなので

　　Ｐ＝｛８，１６，２４，３２、・・・｝

となり、命題ｐと集合Ｐは全然ちがいますね。概念がそもそも違うというべきです。
命題ｑと集合Ｑも同様。

Ｑについても具体的に書けば、「P⊂Qならば何故p⇒qが真」となる理由も分かるのでは？

回答No.1

Tacosan

とりあえず, 「命題」と集合の区別はちゃんとしてください.
と書いておくけど, なんか変な問題だなぁ. 「p⇒q」と書いたときに「p の中にある n」と「q の中にある n」が同じものだって誰が保障してくれるんだろう.

お礼

p⊂qと書いたらそれは間違いと言われて
わけがわからなくなっていました。
気をつけます。

命題pを真にする自然数nの集合Pの中に
命題qを偽にする自然数が含まれてるということですか？
それはないと思うのですが…