三角形ABC（角A＝60°）

質問

a^2=b^2+c^2-bc
を満たす自然数a,b,cを見つけたいのですが、どうすればよいでしょうか。
無限にあるのでしょうか？それすら分かりません。
(a,b.c)=(2,2,2)とかなら自力で代入して見つけられましたが、そんなやり方はおつむが足りないのは重々承知ですw
現在理工系大学学部３年なのでどのようなアプローチでも結構です。
どうかご教示ください。
よろしくお願いします。

回答No.3

htms42 · ベストアンサー

使う式は同じです。
４ａ＝Ｋ＋３ｂ^2／Ｋ
４ｃ＝２ｂ－Ｋ＋３ｂ^2／Ｋ

普通はＫを動かしてみていくようです。でもそれだと系統的に求めていくのが難しくなります。
（あちこちのサイトに載っているピタゴラス数の表についても同じです。
　任意の奇数ｂを与えてａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2　を満たす（ａ，ｂ，ｃ）を求めることができるという形にはなっていません。ばらばらに数字の組が出てきているという形の表になっています。）

この問題でもｂを動かしていくという形で見ていく方が整理しやすいと思います。
でもピタゴラス数よりも複雑です。ｂを与えた時の（ａ，ｂ，ｃ）の組の数はピタゴラス数よりも多いです。
項が1つ多くなったことによって組み合わせの自由度が増えたからでしょう。

・「既約な数字の組」を考えるという条件をつけます。
　ａ＝ｂ＝ｃに対応する数字の組は（１，１，１）になります。
　ａ，ｂ，ｃが全て偶数の場合もこの条件から除かれてしまいます。
　ａは常に奇数です。ｂ、ｃのうち少なくとも1つは奇数です。
　ｂを奇数とします。ｂ、ｃについて対称ですからｂだけについて考えればいいです。
　（ピタゴラス数の表がばらばらな印象のものになっているのは「既約」という条件を付けていないからです。）

・（ａ，ｂ，ｃ）が１つ求まったとします。ｂ＞ｃであれば、ｄ＝ｂ－ｃとした（ａ，ｂ，ｄ）も解です。したがって（ａ，ｄ，ｂ）も解です。ｂ＜ｃの場合はｄ＝ｃ－ｂで（ａ，ｄ，ｃ）が解になります。

・ｂ＝２ｍ＋１（ｍ≧１）とします。
　(i)Ｋ＝１　４ａ＝３ｍ(ｍ＋１)＋１、ｃ＝ａ＋ｍ
　(ii)Ｋ＝３　ａ＝ｍ(ｍ＋１)＋１　ｃ＝ｍ(ｍ＋２)

※(i)、(ii)で求めたもの、それらをｄに変換したもの(i)'、(ii)'を合わせると４系統です。
　　それらの中に同じ組み合わせが出てくることがあります。

※(ii)は３ｂ^2／Ｋの式の３と約することができるということから決まった数字の組です。
　　ｂの約数が３を持つ場合に対応するものではありません。したがってピタゴラス数では出てこないものです。
　　Ｋ≧５の場合はｂの約数によってきまります。
　　ｂを奇数の積　ｂ＝ｐｑ　（ｐ＞ｑ≧１　　ｐ、ｑは約数を持たない）と書くことができれば、
　　このｐ、ｑに対してＫ＝ｐ^2、Ｋ＝ｑ^2がきまります。次に出てくるのはｂ＝１５の場合でＫ＝９です。
　　（Ｋ＝１，２，３、・・・という方法が整理するのに向いていないというのが分かります。）

１≦ｍ≦１０について一覧を載せておきます。

ｍ　(i)(ｂ，ｃ，ａ)　(i)'　　　　　　　　　　　　　　(ii)(ｂ，ｃ，ａ)　　(ii)'　　　　　　
１　(３、８、７)　　(５，８，７)
２　(５、２１、１９)(１６，２１，１９)　　　　　　　(５，８，７)　　(３，８，７)
３　(７，４０，３７)(３３，４０，３７)　　　　　　　(７，１５，１３)(８，１５，１３)
４　(９，６５，６１)(５６，６５，６１)　　　　　　　(９，２４，２１)(１５，２４，２１)
５　(１１，９６，９１)(８５，９６，９１)　　　　　　(１１，３５，３１)(２４，３５，３１)
６　(１３、１３３，１２７)(１２０，１３３，１２７)　(１３，４８，４３)(３５，４８，４３)
７　(１５，１７６，１６９)(１６１，１７６，１６９)　(１５，６３，５７)(４８，６３，５７)
８　(１７，２２４、２１７)(２０７，２２４，２１７)　(１７，８０，７３)(６３，８０，７３)
９　(１９，２８０，２７１)(２６１，２８０，２７１)　(１９，９９，９１)(８０，９９，９１)
１０(２１，３４１，３３１)(３２０，３４１，３３１)　(２１，１２０，１１１)(１０９，１２０，１１１)

７　　ｂ＝１５＝５×３
　　　　Ｋ＝９　(１５，２４，２１)
　　　　Ｋ＝２５(１５，８，１３)
　　　　　（どちらも上の表の中に出ています。）
１０　ｂ＝２１＝７×３
　　　　Ｋ＝９　（２１，４５，３９）・・・上の表の中にはありません。　
　　　　Ｋ＝４９　（２１，５，１９）・・・上の表の中に既に出ています。

これで１≦ｍ≦１０についての全てです。
（もしかしたら計算ミスがあるかもしれません。電卓での計算です。）

回答No.5

htms42

＃３です。
＃３に示した一覧の最初に
ｍ＝０として（１，１，１）を書いておくのを抜かしてしまいました。
改めて　表の部分だけ書いておきます。

ｂ＝２ｍ＋１
０≦ｍ≦１０　の範囲での（ｂ，ｃ，ａ）一覧
（ｂ、ｃを入れ替えたものも解です。それは書いていません。）

ｍ　(i)(ｂ，ｃ，ａ)　(i)'　　　　　　　　　　　　　　(ii)(ｂ，ｃ，ａ)　　(ii)'　　　　　　
０　(１，１，１)
１　(３、８、７)　　(５，８，７)
２　(５、２１、１９)(１６，２１，１９)　　　　　　　(５，８，７)　　(３，８，７)
３　(７，４０，３７)(３３，４０，３７)　　　　　　　(７，１５，１３)(８，１５，１３)
４　(９，６５，６１)(５６，６５，６１)　　　　　　　(９，２４，２１)(１５，２４，２１)
５　(１１，９６，９１)(８５，９６，９１)　　　　　　(１１，３５，３１)(２４，３５，３１)
６　(１３、１３３，１２７)(１２０，１３３，１２７)　(１３，４８，４３)(３５，４８，４３)
７　(１５，１７６，１６９)(１６１，１７６，１６９)　(１５，６３，５７)(４８，６３，５７)
８　(１７，２２４、２１７)(２０７，２２４，２１７)　(１７，８０，７３)(６３，８０，７３)
９　(１９，２８０，２７１)(２６１，２８０，２７１)　(１９，９９，９１)(８０，９９，９１)
１０(２１，３４１，３３１)(３２０，３４１，３３１)　(２１，１２０，１１１)(１０９，１２０，１１１)

７　　ｂ＝１５＝５×３
　　　　Ｋ＝９　　(１５，２４，２１)
　　　　Ｋ＝２５　(１５，８，１３)
　　　　　（どちらも上の表の中に出ています。）
１０　ｂ＝２１＝７×３
　　　　Ｋ＝９　（２１，４５，３９）・・・上の表の中にはありません。　
　　　　Ｋ＝４９　（２１，５，１９）・・・上の表の中に出ています。

これで１≦ｍ≦１０についての全てです。

この表からも分かりますが全ての奇数のｂに対して解が存在します。
ｂが１から２１までの奇数を動く間にａはとびとびに１から３３１まで動きます。
＃４
＞ａ＝１，２，３、・・・と順番に計算して行く
これはいい方法ではありません。

回答No.4

ramayana

ANo.1さんが示されている通り、

　　4a^2=3b^2+(2c-b)^2

なので、

　　b ≦ (2/3^0.5)a < 1.2a

です。したがって、aを1,2,3,...と動かしていくとき、それぞれのaに対して可能性があるbの値は有限個です。よって、これらを順に試していけば、すべての解が得られます。

回答No.2

info22_

a=b=c=n (nは全ての自然数)
これだけでも無限にあります。

余弦第二定理からcosA=1/2つまり∠A=60°と決まります。
a^2=(b-c)^2+bc
b=cなら a^2=b^2 ∴a=b=c（正三角形） と決まります。
正三角形であれば、a,b,cは任意の自然数であれば良いと言えます。

b≠cなら　b,cについて対称なのでb>cとして求め、bとcを入れ替えたものも解とすれば良い。
b-c=k(kは自然数)とおくと b=c+k…(◆)
a^2=k^2+c(c+k)=k^2+c^2+ck…(■)
kをパラメータとしてa,cが自然数になる組を調べていく方法で(a,b,c)をグラフ的に一寸と調べてみただけでも（■）と（◆）を満たす自然数組が見つかる。この場合もおそらく無限にあると推察される。計算機でプログラムで調べれば沢山の組が直ぐ見つかるだろうね。
一寸調べてみた満たす組の例
(a,b,c)=(7,3,8),(7,8,3),(19,16,21),(19,21,16),(14,10,16),(14,16,10),(13,8,15),(13,15,8), …

回答No.1

nag0720

a^2=b^2+c^2-bc

4a^2=3b^2+(2c-b)^2
となるので、ピタゴラス数を求めるのと同じような方法でa,b,cを決めることができます。

(2a+2c-b)(2a-2c+b)=3b^2
2a-2c+b=k　とすれば、
2a+2c-b=3b^2/k
より、
a=(3b^2+k^2)/(4k)
c=(3b-k)(b+k)/(4k)

k=1の場合は、
a=(3b^2+1)/4
c=(3b-1)(b+1)/4
bは奇数なので、
b=2n-1　とすると、
a=3n^2-3n+1
c=n(3n-2)

k=2の場合は、
a=(3b^2+4)/8
c=(3b-2)(b+2)/8
bは４の倍数でない偶数なので、b=2(2n-1)となるが、これはk=1の場合と同じ(a,b,cが倍になるだけ)。

k=3の場合は、
a=(b^2+3)/4
c=(b-1)(b+3)/4
bは３以上の奇数なので、
b=2n+1　とすると、
a=n^2+n+1
c=n(n+2)

というようにしていけば、a,b,cが求められます。