三角形ＡＢＣの内心をＩとする。辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの長さをa.b.cとしＯＡ→＝ｌ→

質問

三角形ＡＢＣの内心をＩとする。辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの長さをa.b.cとしＯＡ→＝ｌ→、ＯＢ→＝ｍ→、ＯＣ→＝ｎ→とするときＯＩ→を求めよ。

途中までできたのですけど、その後が教科書の答えのように式をつくれませんでした。

まず私は、
AI=l(1/c・c→＋1/b・b→）　と式を作りました。
これはＡＩを求める時に、単位ベクトルを１とし、
その中で、1/c・cが当てはまるので、これで一般線形表示の式をつくりました。

つぎに、ＯＩを題意では聞かれてるのですが、まずＡＩとＢＩを求めると、過去の問題で理由はわかりませんけど、順序良く求めていくものなのでＢＩの式をつくりました。
ＢＩ＝K{1/c(-c) +1/a(-c)+1/a(b)} ＊(-c)とかは分子に掛かってます。
ただ、是は教科書のを見て書いたのですけど、
ＢＡが1/c・(-c)は解るのですけど、どうして、ＢＣは
BC=1/a・(a)ではダメで、きちんとＢＣ＝1/a(-c+b)としなくてはダメなのでしょうか？（質問１）

そのまま続たら、
BI=K{(-1/c-1/a)c + 1/a・b}　とbとｃで分けて
BI=BA+AIより、 K{(-1/c-1/a)c + 1/a・b}=-c+l/c・c+l/b・b　
この式を教科書見るとｃとｂで式を抜き出してました。
K{(-1/c-1/a)}=-1+l/c ...A
k/a=l/b....b
これはどうしてこのように出来るのですか？（質問２）
ベクトルｃとｂは平行ではない理由から、一つの式から抜き出して、分ける事の可能な理由を教えてください。
..ｂの式をK=に変形して...a二代入すると。
l=bc/a+b+cとなり、 AI=bc/a+b+C　×(1/c・c→+1/b・b→）....C　⇔OI =OA+AI の式をつくる。
OI=OA+AI=l+b/a+b+c×（m-l)+c/a+b+c(n-l)　（質問３）OI=OA+AIの式を作るので、ＡＩを求めたのですけど、どこから、(m-l)と(n-l)が生まれたのかわかりませんでした。＞＿＜最後この部分をとけて答えがでるのですけど、AI=bc/a+b+c(1/c・c+1/b・b)の筈なんですけど。。。＞＿＜

回答No.2

postro · ベストアンサー

「ベクトルAB」を　(AB)↑　と書きます　「ベクトルm」は　m↑　です。
ご質問に直接答えてないですが、まず、以下はOKですか？
(OA)↑= l↑
(OB)↑= m↑
(OC)↑= n↑
(AB)↑= m↑ - l↑　よって　(BA)↑= l↑ - m↑
(AC)↑= n↑ - l↑
(BC)↑= n↑ - m↑
次に
(AB)↑の大きさを１にすると　 （m↑ - l↑）/c　よって　(BA)↑の大きさを１にすると ( l↑ - m↑)/c
(AC)↑の大きさを１にすると　 ( n↑ - l↑)/b
(BC)↑の大きさを１にすると　 ( n↑ - m↑)/a
(AI)↑=h{（m↑ - l↑）/c + ( n↑ - l↑)/b} とかける
(BI)↑=ｋ{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} とかける
ここで
(AI)↑+(IB)↑= (AB)↑ より
(AI)↑-(BI)↑= (AB)↑すなわち
h{（m↑ - l↑）/c + ( n↑ - l↑)/b} - ｋ{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} = m↑ - l↑
n↑の係数を比較すると、h/b - k/a = 0 すなわち　h = kb/a
m↑の係数を比較すると、h/c + k/c + k/a = 1 すなわち　h/c + k(a+c)/ac = 1
第一式を第二式に代入してhを消去すると　kb/ac + k(a+c)/ac = 1 すなわち　k(a+b+c)/ac = 1
すなわち　k = ac/(a+b+c)　よって
(BI)↑=ｋ{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} =｛ac/(a+b+c)｝{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a}
=｛a/(a+b+c)｝( l↑ - m↑) + ｛c/(a+b+c)｝( n↑ - m↑)
=｛a/(a+b+c)｝l↑ - ｛(a+c)/(a+b+c)｝m↑ + ｛c/(a+b+c)｝n↑
ここで(OI)↑=(OB)↑+(BI)↑ より
(OI)↑=(OB)↑+(BI)↑= m↑+ ｛a/(a+b+c)｝l↑ - ｛(a+c)/(a+b+c)｝m↑ + ｛c/(a+b+c)｝n↑
= ｛a/(a+b+c)｝l↑ + ｛b/(a+b+c)｝m↑ + ｛c/(a+b+c)｝n↑
= (a*l↑ + b*m↑ + c*n↑)/(a+b+c)

お礼

返事を書いていただいてありがとうございました！！
すごく、解りやすくてプリントアウトして何度も読み返してます！！
数学は、復習とか凄く重要で、また、どこかがきちんと理解せずに先に進むといっつも困る科目です＞＿＜
でも、理解すればするほど数学は面白くて、友達とでかけるより、数学の問題をアレコレ解いてるほうが面白いです!!ほんとうに、どうもありがとうございました！！

回答No.1

noname#21219

<<質問1:
AIベクトルを表記する際に既にb→とc→をつかっているので、文字をこれ以上増やさないためにa→をb→と
c→を使って表しているのです。

<<質問2:
b→とc→は独立なベクトルです。b→のことは、c→だけをつかって表すことはできないということです。
だから、両辺のベクトル全体が等しいなら、
左辺のb→の係数と右辺のb→の係数は等しくならなければいけないし、c→も同様です。

＜＜質問3
m→-l→=OB→-OA→=AB→=c→
n→-l→=OC→-OA→=AC→=b→です。

お礼

本当に、返事書いていただいて、ありがとうございました＞＿＜