∞×０は０じゃないんですか？

質問

０を単なる整数の０だとした場合、∞×０は０と定義できない場合があるんですか？

ただし、∞の定義は決めてません。
こういう定義の場合は∞×０が定義できないと答えてもらえればいいので。

０が無限小の意味だと定義できないのは分かりますので、それは省いてください。

回答No.17

kentarou2333

ちょっと誤りがあったので訂正しておきます。

式の誤りは、二つの∞を分離してしまった事でしょう。

無限を便宜的に lim[x→∞]x と考えると分かりやすいかもしれません。

　lim[x→∞]x ＝ lim[x→∞]x × ( 1 + 0 )

　　　　　　　＝ lim[x→∞](x × 1) + (x × 0)

　　　　　　　≠ lim[x→∞] x × 1 + lim[y→∞] y × 0

つまり、∞を二つに分けてしまったことで、
∞同士の関係が分からなくなってしまったのが原因です。

　lim[x->0] sin(x)/x

は、計算可能ですが、

　lim[x->0] lim[y->0] sin(x)/y

は、x と y の関係が分からないと計算できないようなもんです。

回答No.16

kentarou2333

少なくとも、「答えが∞になるような問題」
なんていうのは高校でもないのではないでしょうか？

世代が違うのかもしれませんが、私の知る限りでは
そんな問題はありません。

ただ、理系の大学の数学で、

　　lim[x→+∞]x + lim[y→+∞]y
　　を求めなさい。

というのが出てきたら、答えに∞と書くよりも、
「発散する」「計算不能」と回答しないと
ダメでしょうね。

ただ、これ以上続けると、荒れそうな気がしてきたので、
回答はこのあたりにしておきたいと思います。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.15

kentarou2333

すでに当初の質問の答えは出ているかと思うので、
蛇足になる感じですが、両辺を比較して、どこに矛盾を感じているのでしょう？

両辺とも、計算不能な状態という意味で等しく見えます。

誤りといえば、そもそも∞に四則演算を行っているところが
誤りかもしれません。

つまり、∞は数ではないという事です。

次のような式の結果を考えてみると、そもそも
∞は数ではなく、四則演算自体に矛盾が生じる事に
気づいていただけるかと思います。

　∞＋１

　∞ー∞

　∞÷∞

　∞×２

　∞ー（∞ｘ２）

　（∞ｘ３）ー（∞ｘ２）

不明点が、ある場合は、上記及び、下記のそれぞれに対して、
答えが何になるべきかを考えていただければと思います。

　偶数の数と、奇数の数はどちらが多い？
　また、それぞれの個数を∞を使って表すとどうなる？

　自然数の数と、偶数の数はどちらが多い？
　また、それぞれの個数を∞を使って表すとどうなる？

最初に戻りますが、要は、∞は計算不能で、それはたとえ０をかけようと、
計算不能という事です。

お礼

じゃあ、高校で習うような、答えに∞が出てくるような問題は、すべて計算不能と答えるべきだという意見ですか？
少なくとも∞という記号は、計算不能を表す記号じゃありませんよ。

∞＋１や∞×２（あるいは＋∞＋１や＋∞×２）は、答えられないのですか？
残り４つの例は、不定ですけどね。

lim[x→+∞]x + lim[y→+∞]y

の答えは何ですか？
計算不能という答えを書いて出しますか？

回答No.14

jmh

「ただし、∞の定義は決めてません」だから、シンボルを「∞」の代わりに、たとえば「＠」にしたとしても同んなじだと思てた。

＠×０＝０と定義できないのか？

#12礼> …∞らしい定義…

数列ａ_nとｂ_nが、ａ_n→ａ、ｂ_n→ｂ（ｎ→＋∞）のとき、
lim （ａ_n＋ｂ_n）＝（lim ａ_n）＋（lim ｂ_n）。
∞＋∞＝∞と定義するのは、ａ_nとｂ_nが＋∞に「収束」するときも、
lim （ａ_n＋ｂ_n）＝（lim ａ_n）＋（lim ｂ_n）で、いい感じですが、
∞×０＝０は、例えば、lim （ｎ×１/ｎ）＝（lim ｎ）×（lim １/ｎ）＝∞×０＝０などと誤解？します。

回答No.13

kentarou2333

lim[x→∞] x×lim[y→∞]1/y

は、何かに収束するものではありません。
要は、結果を定義できないってことです。

x と y の関係の取り方によって No.5 のように
いろんな計算結果にすることもできます。

反例として、例えば、次の式はいくつになると思いますか？

　∞ - ∞　

これを変形して、

　＝∞　× ( 1 - 1 )

　＝0

ですかね？
また、無限に数字を加えるとどうなるでしょうか？

　∞ + 1 = ∞

ですかね？では、掛け算はどうでしょうか？

　∞ × 2 = ∞

ですかね？
上の二つにおいて、両辺から無限を引くと
（最初の式より、∞ー∞ は 0 なので )

　0 = 1
　∞ = 0

となったり、意味不明になってきます。
要は、定義できない値を変にいじっているので、
どんどんおかしくなるわけです。

0 については、lim[x→∞]1/x でも lim[x→∞]1/(x^2) でも
どれに置き換えてもそれらは無限小のようにも見えますが
0 と等しいので 0 で計算した値と、それらに置き換えて計算した
値は等しくなります。

ここまで書いて当初の質問を読み返しましたが、
「０が無限小の意味だと定義できないのは分かります」
と書かれていますが、私の回答はこの事を言っているだけですね。

つまり、質問者さんの言葉を借りて言えば、
「∞×０は、０と無限小は等しいので、定義できないのです」

繰り返しますが、数学の「＝」は、左右が等しいという事です。

　lim[x→∞]1/x = 0

という式は受け入れられるかと思いますが、ここで使われている「=」は、

　1/2 = 0.5

で使っている「=」と同じ記号であり、同じ意味です。

お礼

もう一つ、教えてください。

∞ = ∞×１ = ∞×(１＋０） = ∞ + ∞×０

という例で上げた計算では、どこでしてはいけない計算をしちゃってますか？
分配法則でしょうか？

回答ありがとうございました。

回答No.12

jmh

> ０を単なる整数の０だとした場合、∞×０は０と定義できない場合があるんですか？
>
たぶん、ないです。定義は、いつでもできると思うんです。

> ０が無限小の意味だと定義できない…
>
「定義できない」って、どういう事態ですか？

お礼

∞×０の値は、∞の定義に依存するのかな、と思ったんで、独立してるのであれば、「定義は、いつでもできる」になるんでしょうね。
ただ、×の方も定義は自由にできるので、一般的に「定義できない」ということはないでしょう。
でも、それぞれ∞らしい定義、×らしい定義とした場合、「定義できない」という事態は発生すると思うんです。
こういう定義だと０にならないよ、と教えてくれればいいんです。

回答ありがとうございました。

回答No.11

Ishiwara

無限大も無限小も定義しないと、その積も定義できません。
ただし「アレフ」というレベルを設けたとき、アレフ１の無限大とアレフ０の無限小を掛ければ、無限大の「勝ち」になります。
アレフは、どのくらいのスピードで大きく（小さく）なって行くのか、を示す格付けみたいなものです。

お礼

私は問題を∞×０としています。
０は０であり、スピードは存在しないと思います。（測る方法がありません）

回答ありがとうございました。

回答No.10

kentarou2333

No.5 をご覧いただければとよいかと思います。

一応、再度お伝えしておきますが、
0 と無限小( lim 1/x )は等しいものです。

つまり、無限小は 0 であり、
0 は無限小です。

0 と無限小の違いは、0.5 と 1/2 ぐらいの
違いしかありません。

ここまでで、まだご理解いただけなかったら、
0 と無限小は違うものだと思ってらっしゃるの
かと思います。

その場合、もう一度、前回と今回の書き込みを
読み込んでいただければと思います。

お礼

∞×０ = lim[x→∞] x×lim[y→∞]1/y ですよね？
この式はNo.5では出てきてないので、この先が分かりません。

∞ = ∞×１ = ∞×(１＋０） = ∞ + ∞×０
などと考え出すと、∞の意味さえ分からなくなります。

ちょっと頭がこんがらがってますので、すっきりさせてくれれば有り難いです。

回答No.9

kentarou2333

0.9999999… と 1 は等しいという話はご存知でしょうか？

これは、近いとかいうのでなく完全に等しいものです。

つまり、

　1=lim Σ 9/(10^n)

です。

同様に、0 もまた

　0=lim 1/x

であります。

つまり、「０が無限小だと定義できないという」という部分が
誤っています。

０を無限小と定義しているのでなく、
０と無限小は等しいものなのです。

お礼

回答ありがとうございました。

この０の定義を使えば、∞×０が０でなくなる、ということでしょうか？
そこの所を、もう少し詳しく解説してください。

回答No.8

hugen

伊藤清三　ルベーグ積分入門　より、以下要約.
「積分論では、∞×０＝０　と約束することがある。
lim(an*0)=lim 0=0　　だから。
しかし、初学者に誤解を与える可能性があるので、この約束は使わないことにする。」

お礼

どういう誤解を与えるから心配なのか、という所に興味がありますね。
０と無限小の勘違いなら、初学者だって理解できると思う。
それとも、∞の定義の方に問題があるのかな？
その本には、どう書いてありましたか？

回答ありがとうございました。