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定義域が整数の場合のsin,cosの値域の求め方

関数f(x)と定義域Dを f(x)=sin(3πx/5) D={1,2,3…} としたときの値域R(D)を求めたいです。 増減表を作成してみたりしました。 しかしこの定義域は少数、分数を含まない定義域なので、今回の整数のみの定義域の場合その部分を除外した箇所の値域を求めなければならないことに気づき思考回路が停止しました。 （整数でなければ定義域に制限がない場合-1~1までが値域なのでしょうが） その後は地道にx=1,2…と代入したりしたのですが、効率が悪く合ってるのかでさえ分かりません。 昔高校でこの手の問題をやったはずなのですが、忘れてしまった様です。 解き方を教えてください。 お願いします。

  • HUNK
  • お礼率30% (22/73)

みんなの回答

回答No.2

No1のものですが、 周期20は周期10の誤りです。

回答No.1

x=10のとき3πx/5 = 6π このとき初めて2πの倍数になることから、 f(x)は周期20の周期関数です。 x=1からx=10までのそれぞれの場合について 単位円上の( cos(3πx/5) ,sin(3πx/5) ) を実際に図示すれば すぐにわかると思うのですが。 数え上げていけば、例えばx=2とx=3のとき f(2) = sin(6π/5) = sin(π+π/5) = -sin(π/5) f(3) = sin(9π/5) = sin(2π-π/5) = -sin(π/5) のようにsinが同じになるものがいくつか見つかるので、 結局値域R(D)は10未満の元と持つ有限集合になるはずです。

HUNK
質問者

補足

早速回答有難う御座います！ 上の訂正箇所も見ました、ご心配なく。 なるほどなんとなく思い出してきました。 確かに周期10の範囲で書いてみればあとはその繰り返しですもんね。 ちょっとやってみます。

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