種数と正則微分

質問

こんばんは。
授業の小テストで出された問題なのですが、どうやって解けばよいのか分からなかったので質問させていただきました。

x^4+y^4=1の種数と正則微分を求めよ。

という問題なのですが・・・

種数gは、y^4=1-x^4より重複度4、分岐度3より

g=1/2(3+3+3+3)+1-4=3

と求めればよいでしょうか？

正則微分を求めるにはどのようにしたらよいのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

ご質問１「g=1/2(3+3+3+3)+1-4=3」

種数＝3で合っていると思います。
リーマンの公式を使ってもいいのですが、後のご質問との関係があるので、手作業で種数を計算してみます。

C(X)における、U=X-aに対応する素因子をP_aとし、U=1/Xに対応する素因子をP_∞とします。X^4+Y^4=1を満たすYを、Uのピュイズー級数で表すと、次のようになります。

　　U=X-1のとき、Y=(-4)^(1/4)U^(1/4) + ・・・
　　U=X+1のとき、Y=4^(1/4)U^(1/4) + ・・・
　　U=X-iのとき、Y=(4i)^(1/4)U^(1/4) + ・・・
　　U=X+iのとき、Y=(-4i)^(1/4)U^(1/4) + ・・・
　　U=X-a (a≠1,-1,i,-i)のとき、Y=(1-a^4)^(1/4) + ・・・
　　U=1/Xのとき、Y=(-1)^(1/4) U^(-1) + ・・・

よって、C(X)の各素因子は、C(X,Y)において、次のように拡張されます。

　　P_1,P_(-1),P_i,P_(-i)は、それぞれ、分岐指数が4のただひとつの素因子Q_1,Q_(-1),Q_i,Q_(-i)に拡張
　　P_a (a≠1,-1,i,-i)は、それぞれ、分岐指数が1の4個の素因子Q_a1,Q_a2,Q_a3,Q_a4に拡張
　　P_∞は、分岐指数が1の4個の素因子Q_∞1,Q_∞2,Q_∞3,Q_∞4に拡張

関数や微分の因子を()で表すことにすると、上により、次のことが分かります。

　　(X) = (Q_01・Q_02・Q_03・Q_04)/ (Q_∞1・Q_∞2・Q_∞3・Q_∞4)
　　(Y) = (Q_1・Q_(-1)・Q_i・Q_(-i))/ (Q_∞1・Q_∞2・Q_∞3・Q_∞4)
　　(dX)= (Q_1・Q_(-1)・Q_i・Q_(-i))^3/ (Q_∞1・Q_∞2・Q_∞3・Q_∞4)^2

(dX)の次数をn((dX))で表すと、

　　n((dX)) = 4×3 - 4×2 = 4

一般に2g-2 = n((dX)) だから、2g-2 = 4 。よって、g = 3です。

ご質問２「正則微分を求める」

「正則微分」とは、「因子が整因子である微分」の意味で解釈してよろしいでしょうか？
もし、そうなら、

　　(1) 微分全体がC(X,Y)上の1次元ベクトル空間
　　(2) 正則微分全体がC上のg次元ベクトル空間

です。したがって、XとYの分数式f(X,Y)であって、(f(X,Y)dX)が整因子となるようなものを、C上一次独立となるように、g個見つけ出せばよいことになります。

今回の場合は、上の(X),(Y),(dX)の結果から、次のようになります。

　　(dX/Y^2) = Q_1・Q_(-1)・Q_i・Q_(-i)
　　(dX/Y^3) = Q_∞1・Q_∞2・Q_∞3・Q_∞4
　　(XdX/Y^3) = Q_01・Q_02・Q_03・Q_04

これらは、すべて整因子であって、しかも、dX/Y^2,dX/Y^3,XdX/Y^3は、C上一次独立です。種数が3ですから、これら3つの微分がC上の基底になります。よって、すべての正則微分は、α、β、γを複素数として、

　　αdX/Y^2 + βdX/Y^3 + γXdX/Y^3

と表すことができます。

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございます。

回答者様の回答を参考にいろいろ調べました。
良い勉強になりました。ありがとうございます。