この漸化式の解き方を教えてください。

質問

b(n)を消去してみたのですが、計算が複雑になって解け切れませんでした。
一般項の推測もしてみましたが、こちらも複雑で、分かりませんでした。

何か良い解き方はないでしょうか？
是非教えていただきたいです。

ちなみに自分は高校2年です。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

ANo.1ですが、2箇所訂正です。

> ∴a(n+1) = √{(a(n) + 1) / 2}
> となります。
> これはcosの半角の公式の形をしているので、a(n)は
> a(n) = cos(θ/(2^n))　
> の形をしていると考えられます。

「cosの半角の公式の形をしている」というよりは、
「cosの半角の公式の形に似ている」という方が適切かもしれません。

> b(n)に関しては{a(n)}^2 + {b(n)}^2 = 1とa(n) = cos(π/(2^n))　から、
> {b(n)}^2 = sin(π/(2^n))となると思います。

最後の式でタイプミスしました。
「{b(n)}^2 = sin(π/(2^n))」ではなく、「b(n) = sin(π/(2^n))」です。

お礼

僕には発想力が足りませんでした。
本当にありがとうございます。

回答No.1

R_Earl

2つの漸化式の両辺を2乗した等式を作り、
その等式を足し合わせて整理すると、
{a(n+1)}^2 + {b(n+1)}^2 = 1となります。
よってa(n)とb(n)には{a(n)}^2 + {b(n)}^2 = 1という関係が成り立ちます。
三平方の定理のような式ができました。

{a(n)}^2 + {b(n)}^2 = 1を{b(n)}^2 = 1 - {a(n)}^2と変形し、
上の方の漸化式に代入すると、
a(n+1) = (a(n) + 1) / √(2a(n) + 2)
a(n+1) = (a(n) + 1) / √{2(a(n) + 1)}
a(n+1) = √(a(n) + 1) / √2
∴a(n+1) = √{(a(n) + 1) / 2}
となります。
これはcosの半角の公式の形をしているので、a(n)は
a(n) = cos(θ/(2^n))　
の形をしていると考えられます。
a(1) = 0となるので、θはπです。よってa(n) = cos(π/(2^n))　

b(n)に関しては{a(n)}^2 + {b(n)}^2 = 1とa(n) = cos(π/(2^n))　から、
{b(n)}^2 = sin(π/(2^n))となると思います。