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文字が多い式の解き方
grothendieckの回答
- grothendieck
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stripeさん、こんいちは。特別な場合だけに通用するやり方を考えることも意味のあることかもしれませんが、数学を応用する立場からは一般性のある方法がほしい所です。拘束条件付き多変数関数の最大値(あるいは極値)を求めるためには一般には変数を増やすのが良いとされていると思います。すなわち、ラグランジュの未定乗数法です。ご存じと思いますが、簡単に復習しておくと、 g(x,y) = 0 という拘束条件の下で z = f(x,y) の極値を求める時に z = f(x,y) - λg(x,y) として ∂z/∂x = ∂z/∂y = ∂z/∂λ =0 …(1) から極値を求める方法でした。なぜこれで極値が求まるのかは私は次の様に説明することにしています。x-y平面上にf(x,y)=kという曲線群とg(x,y)=0の曲線を書いてみると、(1)の条件はfとgの勾配ベクトルが平行になっているということと、g(x,y)=0を意味します。従って(1)が成り立っている時、g上で微小な変位を考えるとfの勾配ベクトルと垂直なので、１次の変化はないことになり、極値ということになります。なぜラグランジュの未定乗数法の方が変数を消去するより簡単なのかは、曲線を局所的に線形に近似して考えているからではないでしょうか。消去がよほど簡単にでき、簡単な形になる場合以外はラグランジュの未定乗数法が良いと思います。
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