証明問題

質問

x+y+z=1/x+1/y+1/z=1
のとき、ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも一つは1に等しい事を示せ

という問題なのですが、
(x-1)(y-1)(z-1)=0を示せばよいということはわかったんですが、この導き方がちょっとよくわかりません。

数学がお得意のかた、アドバイスよろしくお願いします。

回答No.1

redsky · ベストアンサー

1/x+1/y+1/z=1 より　両辺にxyzをかけて変形すると
xyz-yz-xz-xy = 0 になります。 ・・・(1)

すると
(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1
=0+x+y+z-1 ((1)より)
=0 (題意よりx+y+z=1なので)
となるので証明されました。

お礼

ありがとうございます！
メチャクチャわかりやすかったです！
参考にさせていただきます。

回答No.2

fushigichan

stripeさん、こんばんは。
redskyさんの完璧な回答がありますので、参考程度に・・

＞(x-1)(y-1)(z-1)=0を示せばよいということはわかったんですが、この導き方がちょっとよくわかりません。

これが分かっていれば、大したもんだと思いますよ。
８割解けたも同然ですよね。
展開していって、

(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1=0
をいえればよいです。・・・(☆）

ここで、
＞x+y+z=1/x+1/y+1/z=1

という式なんですが、

x+y+z=1
(1/x)+(1/y)+(1/z)=1
という２つの式に分けて考えると、ああそうか、と思うでしょう。

x+y+z-1=0という式と、
(1/x)+(1/y)+(1/z)-1=(yz+zx+xy-xyz)/xyz=0
という式になります。
２番目の式は、分母≠0ですから
分子＝０でないといけません。
だから、yz+zx+xz-xyz=0

これらを、（☆）に代入すればいいだけですね。
導き方と、ひらめきかた？は、こういう感じです。
頑張ってください。

お礼

どうもありがとうございます！

最終的に(x-1)(y-1)(z-1)=0と変形するんだ！って思ってて、なかなかうまくいきませんでした(＾＾；
頭が固いとうまくいきませんね泣

参考にさせていただきます。
ありがとうございました！