Heine-Borelの被覆定理

質問

Heine-Borelの被覆定理：無数の円の一組が、全体として、有界なる閉集合Fを覆うならば、Fはすでに、それらの円の中の有限個だけで覆われる。
この定理の証明が背理法でなされるのなら、帰結部分が”Fは無限個の円で覆われる”ということでいいんですよね？

回答No.5

graphaffine · ベストアンサー

raul-figoさん、こんにちは。#3のものです。まだ続いているようなので＃３の補足（蛇足？）をします。
「Heine-Borelの定理の十分性はユークリッド空間の部分集合であることが本質的」な事
ユークリッド空間の部分集合でないとき、有界閉集合であってもコンパクトにならない例を挙げます。
Ｒを実数全体の集合とし、離散距離から誘導される位相を入れます。このとき、Ｒの全ての部分集合は有界閉集合ですが、明らかに無限部分集合はコンパクトでは有りません。

お礼

何度も回答ありがとうございます。確かにこの例はコンパクトになりませんよね。論述の精密性がいかに重要であるのか考えさせられました。

回答No.4

grothendieck

raul-figoさん、こんにちは。あまり重要なことではないかもしれませんが、#2で私が挙げた例では閉円板(#3の方が書かれているように、円盤ではなくて円板でした)の中に、ただ１点からなるものも含まれていました。「半径０の円板は円板と言えるだろうか？」という気もしますが、次のようにすれば、半径が正の閉円板のみからなる例もつくれます。X-Y平面で四つの点(1,1),(1,-1),(-1,-1),(-1,1)を頂点とする正方形を考えます。この正方形の辺は有界閉集合であり、辺の長さの和は8になります。初項が1で総和が8の等比数列の公比は7/8ですから、Dnを直径が(7/8)^nの閉円板とすると、Dnを中心が辺上にくるように並べていけばこの図形を被覆できます。このうちの有限個では被覆できません。

お礼

二度の回答ありがとうございます。精密に検証された事実のみ効力を発揮するのが数学であると改めて身にしみる思いです。

回答No.3

graphaffine

raul-figoさん、今晩は。＃１の方も言われていますように、正確さは数学の命です。で、僭越ながら不正確な部分を突っ込ませてもらいます。
まず、Heine-Borelの定理は「ユークリッド空間の部分集合がコンパクトであるためには、有界閉集合である事が必要十分」ですね。必要性は一般の距離空間で成り立ちますが、問題にされている十分性はユークリッド空間の部分集合であることが本質的ですので、この条件を落とすのはまずいです。
それから＃２の方もおっしゃるように円と言う言い方も正確性に欠けます。円周?円板？
これは、後者だと言う事はすぐわかりますがそうすると、開円板？閉円板？それともそれ以外？と言う突っ込みが入ります。位相を扱っている以上この辺は明確にすべきでしょう。

コンパクト性の表現はいろいろありますが、背理法を使う場合は閉集合の有限交叉性云々の方が個人的にはすっきりしているような気がします。

お礼

回答ありがとうございます。やはり自分の論述には正確さが足りませんでした。

回答No.2

grothendieck

raul-figoさん、こんにちは。背理法の帰結部分はmahler3さんが言われるように「どんな有限個の部分集合を選んでも被覆できない(または無限個でなければ覆われない)」とすべきでしょうね。また前提部分も単に「無数の円」というのは気になります。かりにこの円が閉円盤でも良いとすると、閉区間を[a,b]で表わした時、
　A0 = [0,0]　(座標が0の点)
　An = [1/n,1]　(n=1,2,…)
とすると
　[0,1]=∪Ak　(n=0,1,2,…)
という有界閉区間の被覆が得られますが、明かにこのうちの有限個では被覆できません。

回答No.1

mahler3

正確には、
「それらの円のうちのどんな有限個の部分集合を選んでも覆えない」ような閉集合とその被覆（無限個の円の集合？）がある。
っていう設定ですよね。

だから、「あんまりよくない」って感じです。論述の細部で「正確さ」は大切なんです。

一度英語で書いてみる事を勧めます。

お礼

確かに、背理法の記述の関して英語で書いてみるのはものすごくいい考えだと思います。英語なら文章に精密さを与えられそうです、ありがとうございます。