楕円振動について

質問

物理の問題なのですが、どこから手をつけていいのか全く分かりません。どなたか答えてもらえたら幸いです。

問:定点からの距離に比例する引力をうけ一平面内を動く質点の運動を直角座標を用いて調べよ.
その軌道は定点を中心とする楕円になる事を示せ.

回答No.4

do_ra_ne_ko · ベストアンサー

ANo.3
用心深く、円運動をすることもあると言っておいたのが良かった。
ＡＮo.１　さま　の回答通りで楕円運動をしますが、円運動も楕円運動の一つです。

直角座標の定点をどこにおいてもよいので　Ｏ（０．０）とします。

質量ｍの質点Ｐ（ｘ，ｙ）があって、定点からの距離に比例する引力をうけるのですから。

　距離ＯＰ＝√（ｘ＾２＋ｙ＾２）　
　引力の大きさはｋを定数として　ｋ{ＯＰ}
　引力の方向は、{ＯＰ}をＯに向かう方向
与えられた条件はこれだけです。
これで解けなければ問題が悪いことになります　（超強気・・・）

残るはニュートンの運動方程式　Ｆ＝ｍα　のみ。
ここで、Ｆもαもベクトルです。だからｘ方向とｙ方向に分割します。

ｘ方向
　ｘ方向の外力Ｆｘは引力なので、　Ｆｘ＝ｋ {ＯＰ} *[ { (－ｘ) / {ＯＰ} ] ＝－ｋｘ
　ｘ方向の加速度αｘ＝ｄ^2ｘ/dt^2 　（ｔ　は時間）

　　　ｍ(ｄ^2ｘ/ｄｔ＾2)＝－ｋｘ　・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

一般解は、Ａ，Θを定数として

　　ｘ＝Ａsin(√Ｋｔ＋Θ）・・・・・・・・・・（a）

ｙ方向
　ｘ方向と同様にして
　　　　(1/2) m (dy/dt)^2 ＝－ k y^2 ＋B ・・・・・・・・・・・（２）
　一般解は、Ｂ，Φを定数として

　　ｙ＝Ｂｓｉｎ（√Ｋｔ＋Φ）・・・・・・・・・・（b）

この質点がy軸を横切ることもあると考えてよい。

　時間　ｔ＝０　のときｙ軸を横切る、つまりｘ＝０とする。
　（a）式より　０＝ＡsinΘ
　　　　Ａが題意より０ではないので、Θ＝０としてよい
　つまり、（a）式は、

　　　ｘ＝Ａsin(√Ｋｔ）・・・・・・・・・・・・・・・・・・（ｄ）

今度は、時間ｔ＝０のとき質点はｙ軸を横切るが、０以外のどこを横切るとしてもよい。

　　ｔ＝０のときのｙ切片を　ｙ＝ＢsinΘ＝Ｂ，つまりΘ＝π/2 とする。

　　　y＝Ｂsin(√Ｋｔ＋π/2)＝Ｂcos√Ｋｔ・・・・・（e）

（d）式と（e）式から、

　　　　ｘ＾2/A^2＋ｙ＾2/B^2 ＝1

原点を中心とする楕円となる。　最初に原点を中心に選んだだけで実はどこが中心でもよい。
勿論、Ａ＝Ｂ　の場合も含まれるが、この場合は円となる。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

自分自身でもなんだか落ち着かない回答だったのですが、　Ｎｏ．１さまの
回答を見て自分自身で納得がゆきました。

(

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
分かりやすい回答ありがとうございます。

回答No.3

do_ra_ne_ko

楕円の「振動」ではなくて運動でしょう？
力づくでやってしまっては如何ですか？

直角座標の定点をどこにおいてもよいので　Ｏ（０．０）とします。

質量ｍの質点Ｐ（ｘ，ｙ）があって、定点からの距離に比例する引力をうけるのですから。

　距離ＯＰ＝√（ｘ＾２＋ｙ＾２）　
　引力の大きさはｋを定数として　ｋ{ＯＰ}
　引力の方向は、{ＯＰ}をＯに向かう方向
与えられた条件はこれだけです。
これで解けなければ問題が悪いことになります　（超強気・・・）

残るはニュートンの運動方程式　Ｆ＝ｍα　のみ。
ここで、Ｆもαもベクトルです。だからｘ方向とｙ方向に分割します。

ｘ方向
　ｘ方向の外力Ｆｘは引力なので、　Ｆｘ＝ｋ {ＯＰ} *[ { (－ｘ) / {ＯＰ} ] ＝－ｋｘ
　ｘ方向の加速度αｘ＝ｄ^2ｘ/dt^2 　（ｔ　は時間）

　　　ｍ(ｄ^2ｘ/ｄｔ＾2)＝－ｋｘ　・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

　ニュートンの運動方程式から運動エネルギーを導きだす方法を思い出して
　　左辺に　2ｄｘ＝ 2 (dx/dt)dt　　、右辺に 2dx を掛けると

　　　　2 m (dx/dt) (d^2/dt^2) dt=－2 k x dx　・・・・・・・・（２）

　積分常数を (2Ａ) として積分すると、　　　　　
　　　　m (dx/dt)^2 ＝－ k x^2 ＋ 2A
　両辺を２で割ると
　　　　(1/2) m (dx/dt)^2 ＝－ k x^2＋A ・・・・・・・・・・・（３）

ｙ方向
　ｘ方向と同様にして
　　　　(1/2) m (dy/dt)^2 ＝－ k y^2 ＋B ・・・・・・・・・・・（４）

(3)＋(4)　を作ってみると

　{ (1/2) m (dx/dt)^2＋(1/2) m (dy/dt)^2 } ＋k { x^2＋y^2 } ＝ (A＋B )

つまり、質点の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は一定となる。

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　｛定点を中心とする楕円｝　なんて書いてあるから奇妙だとは思っていました。

太陽と地球では、距離の二乗に反比例する万有引力を受け、
地球の軌道は、太陽を焦点の一つとする楕円です。

距離に比例する引力を受ける場合について「力づくで解きましたが」これ以外の解法は
ない筈です。ひとつの運動方法は円運動でして、何らかの方法で軌道を変えると
中心に近付くほど質点は高速回転をします。

回答No.2

noname#185706

＃１では、「定点」を座標の原点にとっています。

回答No.1

noname#185706

質点の位置をベクトル r~ = (x, y)、比例定数を k、時間に関する微分を D （2階微分は DD）で表すと、 運動方程式は
m DDr~ = - k 「　　」 。
これを成分で書くと
m DDx = - k 「　　」 、
m DDy = - k 「　　」 。
これらの一般解は
ω^2 = 「　　　　」
として
x = A sin(「　　」t + φ) 。　(1)
y = B sin(「　　」t + ψ) 。　(2)
(1)と(2)はいずれも「　　　　　　　」を表し、積分定数 A、 B、φ、ψ は、ある時刻 t における質点の位置 r~ と速度 Dr~ で決定される。

ただ、いまの問題では軌道の形が分かればよいので、以下のようにして φ と ψ だけ都合のよいように決める。

まず、t = 0 で x = 0 となるように時刻の原点を選んでも、一般性は失われない（軌道の形は変わらない）。(1)より
「　　　　　　　　　　　」。
A ≠ 0
として（おそらくそれが題意）
φ = 「　　」 。　(3)

また、t = 0 で y = B となるように y 軸（と x 軸）の方向を選んでも、一般性は失われない（軌道の形は変わらない）。(2)より
「　　　　　　　　　　　」。　
B ≠ 0
として（おそらくそれが題意）
ψ = 「　　」 。　(4)

(1)、(2)、(3)、(4)より
x = 「　　　　　　　」 、
y = 「　　　　　　　」 。
これらより
「　　　　　　　　　　　　　」= 1 。
これは楕円を表す。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
回答ありがとうございました。