数学Bのベクトルです

質問

数学Bのベクトルでわからない問題があるので教えて下さい。
[問題]
2点A(0,1,4)、B(4,5,0)について、
<1>直線AB上の点で、原点から最も近い点Pの座標を求めよ。

<2>.<1>で求めた点Pに対して、ABとOPが垂直であることを示せ。

この<1>.<2>の答えと解説をわかりやすく教えて下さい。

回答No.1

Hyokko_Lin · ベストアンサー

<1>
直線AB上の点Pに対して、
ベクトルOPは、ベクトルOAとベクトルOBを使って以下のように書けます。
{OP}=(1-a){OA}+a{OB}　(但し、aは実数)
{OA}=(0,1,4)、{OB}=(4,5,0)より、
{OP}=(4a,1+4a,4-4a)…(1)
となります。

ここで、ベクトルOPの長さの2乗を考えると、
|OP|^2=(4a)^2+(1+4a)^2+(4-4a)^2
=48a^2-24a+17
=48(a-1/4)^2+14
よって、|OP|は、a=1/4のとき最小値√14をとります。
この時の点Pの座標は、(1)にa=1/4を代入して、
P(1,2,3)
となります。

<2>
{AB}=(4,4,-4)、{OP}=(1,2,3)より、
{AB}・{OP}=4+8-12=0
よって、ABとOPは垂直である。

お礼

回答ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。