大学数学入試過去問について

質問

「点Oを原点とする座標平面上に点A（2,0）と点P₀（-1,0）をとる。点P₀を通り、ベクトルd=（3,√3)に平行な直線をlとする。l上の点の列P₁,P₂,・・・・・・,Pn,・・・・・・を、n=1,2,・・・・・・について、直線OPnと直線APn₋₁とが垂直であるようにとる。またtnをベクトルOPn=ベクトルOP₀＋tnベクトルdを満たす実数とする。
（１）t₁の値を求めよ。
（２）数列{tn}の漸化式を求めよ。」
この問題を行列を使わずに解く方法を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

masa072 · ベストアンサー

むしろ行列を使った方法を知りたいです…

ベクトルの問題なので、素直に「垂直なら内積0」を使うのが定石かと思います。

t_1はいいですね。図を描くとP_1が(0,1/√3)とわかるので、vec{OP_1}を考えるとt_1=1/3とわかります。

漸化式はvec{OP_n}とvec{AP_{n-1}}が直交するので、その内積を計算して0となるようにすると、
4t_{n-1}*t_n-t_{n-1}-3t_n+1=0と漸化式が表れます。

この漸化式はt_n=n/(2n+1)と推測できるので帰納法で証明すればよいです。