立体の問題です

質問

四面体ABCDにおいて
AB=AC=３、∠BAC=90°、AD=２、BD=CD=√7　であり
BCの中点をMとする。

(1)BC、AM、DM　の長さをそれぞれ求めよ。
(2)∠DAM　の大きさを求めよ。
(3)三角形AMDの面積S　を求めよ。

どなたか回答お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
△ABCは二等辺直角三角形でAB=AC=3なので　BC=AB√2=3√2
△ABMに3平方の定理を適用して
　AM=√(AB^2-BM^2)=√(AB^2-(BC/2)^2)=√(9-(9/2))=3/√2=(3√2)/2
△BDMに3平方の定理を適用して
　DM=√(BD^2-BM^2)=√(BD^2-(BC/2)^2)=√(7-(9/2))=√(5/2)=(√10)/2

(2)
△DAMに余弦定理を適用して
cos∠DAM=(AM^2+AD^2-DM^2)/(2AM*AD)=((9/2)+4-(5/2))/(2((3√2)/2)2)=1/√2
∠DAM=45°(=π/4[rad])

(3)
△AMDについてAM=3/√2, AD=2, DM=√(5/2), ∠DAM=45°から
面積Sを求める方法にはヘロンの公式を使えば良いが∠DAM=45°を使って求めてみる。
　S=(1/2)AD*AMsin45°=(1/2)2*(3/√2)*(1/√2)=3/2

お礼

ありがとうございました