仮定が一つ抜けている気がします．

質問

「AB＞ACであるΔABCがある．辺AB上の点をDとし，∠Aの二等分線と線分CDの交点をE，点Eを通って辺ABに平行な直線が辺BCと交わる点をFとする．∠BAC＝９０度のとき，次の問に答えよ．
(1)点Fは辺BCの中点であることを証明せよ．
(2)AB＝１０，AC＝８，∠BAC＝６０度のとき，ΔCEFの面積を求めよ．
とあります．

質問１：問題定義のときに∠BAC＝９０度と決めているのに，その後の個別の問題でその設定を変えられるのですか？
質問２：(1)はAD＝ACという仮定があるなら分かりますが，点Dがどこでもいいのなら，点Fは辺BCの中点にならない気がします．AD＝ACという
仮定がなくてもこの証明は成り立ちますか？

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> 質問１：問題定義のときに∠BAC＝９０度と決めているのに，その後の個別の問題でその設定を変えられるのですか？

問題文の書き方にもよると思います。

今回の問題文は、個人的にはあまり良いとは思えません。
∠BACが(1)では90°で、(2)では60°に変わっています。
それなら、「∠BACは90°」という記述は(1)の中に書くべきだと思います。

もしかしたら、
「本来は∠BAC = 90°を利用する設問が他にもあったが、何らかの理由で削除した」
ということもあるかもしれません。

> 質問２：(1)はAD＝ACという仮定があるなら分かりますが，点Dがどこでもいいのなら，点Fは辺BCの中点にならない気がします．AD＝ACという
> 仮定がなくてもこの証明は成り立ちますか？

成り立たないと思います。
点Dの位置を変えると点Eの位置も変化してしまい、点Fの位置も変化します。

お礼

ありがとうございます．
やはり成り立たないですよね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.4

htms42

幾何的に証明してみます。

△ＣＢＤにおいてＢＦ＝ＢＣ、ＢＤ∥ＥＦですからＤＥ＝ＥＣです。
△ＡＤＣにおいて∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＥですからＡＤ／ＡＣ＝ＤＥ／ＥＣ＝１が成り立ちます。
∴ＡＤ＝ＡＣ

お礼

ありがとうございます．
DE=ECのときはAD=ACですよね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.3

mister_moonlight

平行座標を知ってるなら、90°でも、60°でも証明できる。
この問題は、ＡＣ＝ＡＤである必要がある事も証明しょう。

座標系{Ｂ、Ｃ、Ａ}をとり、Ａ（0、0）、Ｂ（b、0）、Ｃ（0、c）、Ｄ（d、0）、Ｅ（m、m）とする。
直線：ＣＤの方程式は、cx＋dy＝cd　‥‥(1)、直線：ＢＣの方程式は、cx＋by＝bc　‥‥(2)
(1)がＥ（m、m）を通るから、m＝（cd）/（c＋d）‥‥(3)
直線：ＥＦは　y＝mであるから、(2)との交点Ｆは連立して求めると、Ｆ{（bc-bm）/c、m}となる。
これがＢＣの中点（b/2、c/2）と一致するから、b/2＝（bc-bm）/c、c/2＝m。これらに(3)を代入すると、c＝d、即ち、ＡＣ＝ＡＤである。

平行座標を知らなければ、“平行座標”で検索すると良い。

お礼

ありがとうございます．
平行座標というのを知りませんでした．
やはりAC＝ADなのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.2

owata-www

質問１
いいとは思いませんが、このように途中で設定を変えられることはよくあります（特に物理の問題とか）、ただ正直混乱を防ぐためにも前置きは必要だと思います

質問２
成り立ちません
例えば、点Ａ＝点Ｄの時、点Ｆは点Ｂになります。
よって、条件が抜け落ちてます

お礼

ありがとうございます．
やはり条件がたりませんよね．
これからもよろしくお願いします．