y=ax^2+bxのグラフについて質問です。

質問

y=ax^2+bxのグラフについて質問です。

このグラフが第4象限を通らない時のa,bの値の符号を求めなさいという問題なのですが第4象限ではx＞0、y＜0ということはわかったのですが、肝心のa,bの求め方がわかりません。基礎の質問とは思いますがご回答のほうよろしくお願いいたします。

回答No.3

oxbow · ベストアンサー

横から失礼します．

a=1,b=-1の場合,
y=x^2-x が最小値をとるのは x=1/2 のときでこのとき y=-1/4 ．

∵y=x^2-x=(x-1/2)^2-1/4

お礼

ご回答の方ありがとうございます。最小値をとる値が間違えていたのですね。ご指摘ありがとうございます。おかげで解決いたしました。

回答No.2

R_Earl

グラフが第4象限を通るかどうかは、
実際にグラフを描いてみれば一発で分かるはずですよね。
「a, bという文字式があるからグラフが描けない」と思うかもしれませんが、
そうであれば自分で適当な値を代入してみると良いです。
例えば
y = x^2 + xのグラフが第4象限を通るか確認(グラフの式にa = 1, b = 1を代入)
y = x^2 - xのグラフが第4象限を通るか確認(グラフの式にa = 1, b = -1を代入)
y = -x^2 + xのグラフが第4象限を通るか確認(グラフの式にa = -1, b = 1を代入)
y = -x^2 - xのグラフが第4象限を通るか確認(グラフの式にa = -1, b = -1を代入)
という事をやってみましょう。
一応、これだけで答えが出せます。

また、y = ax^2 + bxを式変形するとy = x(ax + b)となります。
なのでこの関数のグラフは、x切片0, -b/aのグラフとなることが分かります。
この情報を元に、実際にy = ax^2 + bxのグラフを描いてみても解く事ができます。
aやbの値によってグラフの形は変わるので、
色んなa, bの値を当てはめて試してみましょう。
その上で「グラフが第4象限を通らないようにするにはどうしたらよいか」を考えると
解く事ができます。

こういう文字式付きの問題は、
「文字式に値を設定して検証して考えてみる」ということも大事です。

お礼

ご回答の方ありがとうございます。また、実際数字をあてはめてみるということをご教授くださり感謝しています。
ところで、いろいろ試してみたのですが、第四象限にならない場合が２つありました（私の計算なので間違っているかもしれません）。１つはa>0, b>0のときです。a=1, b=1をあてはめてみて、答えがy-x^2+x y=x(x+1) x=-1(最小値）
そしてもう１つはa>0, b<0のときです。a=1, b=-1をあてはめてみて、答えがy=x^2-x y=x(x-1) x=1(最小値）
しかし、回答はa>0, b>0のときのみなのですがこれはなぜなのでしょうか？

回答No.1

naniwacchi

おはようございます。

「第 4象限を」と言われると、難しい感じにも聞こえますが、
少し言い換えるだけでだいぶ雰囲気が変わりそうです。

質問でも書かれているとおり、x＞ 0かつ y＜ 0が第 4象限です。
つまり、x＞ 0において y≧ 0であればいいということになります。
これが基本となる考え方です。

解答を考えていくときには、まず aの値に注目します。
というのは、aの値によってグラフの形が変わるからです。
1) a＜ 0ならば、上に凸の 2次関数
2) a＝ 0ならば、1次関数
3) a＞ 0ならば、下に凸の 2次関数

となります。
この中で条件に当てはまらない場合分けが 1つあります。
次に、残り 2つについて考えていきます。

・2次関数の場合は、やはり軸の位置がポイントになります。
軸の位置によって、考えている区間（x＞ 0）での最小値が変わってくるからです。

・もう 1つの条件については、さらに bの値で場合分けして考えた方がわかりやすいかと思います。
これもグラフの形が変わってきます。

まずはいろいろと条件を満たすようなグラフを描いてみる（試行錯誤）のが大事ですね。

お礼

ご回答の方ありがとうございます。また詳しく場合分けなどのことをご教授くださり感謝しています。
ところで、いろいろ試してみたのですが、第四象限にならない場合が２つありました（私の計算なので間違っているかもしれません）。１つはa>0, b>0のときです。そしてもう１つはa>0, b<0のときです。
しかし、回答はa>0, b>0のときのみなのですがこれはなぜなのでしょうか？