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ベクトルポテンシャルとエネルギー
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- KENZOU
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v・qAは定常電流のまわりに作られる磁場のエネルギー密度を表わします。そのあたりの事情を以下に示してみましょう。 電荷qが速度vで運動していると、定常電流(J=qv)が流れますね。マクスウェルの方程式によればこの電流の流れの周りに渦型の磁場(B)が発生します。この磁場Bの空間分布は ∇×B=μ0J (1)(→電流Jのまわりに渦型磁場が発生) ∇・B=0 (2) (→磁荷はないという意味) で与えられます。但し、μ0は磁場と電流の相対的な次元を決める定数です。ところで(2)式は、あるベクトル場Aを用いて B=∇×A (3) と表わすことができますが、このベクトル場Aをベクトルポテンシャルと呼んでいますね。 さて、ここで H=(1/μ0)B (4) という新しい場の量Hを定義します(詳細は略しますが、Hは磁場の強さとなります)。すると磁場のエネルギー密度をumとすると、umは(5)式で与えられます。 um=(1/2)H・B (5) いま、定常電流Jに伴って発生する磁場のエネルギーをUmとしますと、Umは(4)式の全空間積分で与えられますから Um=(1/2)∫H・Bdxdydz (6) となります。(6)式の被積分関数はベクトルの内積であることに注意して下さい。(A,B,H,J,vはベクトル量) いよいよ(6)式の展開に入ります。ベクトル解析の公式 div(A×H)=H・(∇×A)-A・(∇×H) (7) を使って (6)=(1/2)∫H・(∇×A)dxdydz =(1/2){∫A・(∇×H)dxdydz+∫div(A×H)dxdydz} =(1/2){∫A・(∇×H)dxdydz+∫(A×H)dS} (8) ここで第2項への変形はStokesの積分定理(※)を使っています。 ところで第2項の面積積分は無限に遠い表面Sについての面積積分となるわけですが、ベクトルポテンシャルA、磁場の強さを示すHの遠方での振るまいは A→1/r (9) H→1/r^2 (10) で減少し、一方Sは S→r^2 (11) で増加しますね。これらの掛け合わせの結果、第2項の積分は1/rの割合で減衰し、r→∞で0となります。従って(8)式は Um=(1/2)∫A・(∇×H)dxdydz =(1/2)∫A・Jdxdydz =(1/2)∫v・qA (12) となります(電流Jは電荷の速度をvとするとJ=qv) (※)Stokesの積分定理 ∫dxdydz∇(・・・)=∫dS(・・・) (右辺は体積Vを包む閉じた表面についての積分)
- ElectricGamo
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ベクトルポテンシャルとエネルギーの関係については、参考URLで分かりやすく説明されてますよ。
お礼
有難う御座います。HP拝見致しました。 大変参考になりました。
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