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ベクトルポテンシャル

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お礼率 66% (2/3)

電流密度の式を導くには、
なぜ、ベクトルポテンシャル(A)を考慮すべきなのか?
自由電子の運動量がmvではなく、
mv+qA
となるが、第2項目の意味は何か?
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル8

ベストアンサー率 71% (20/28)

おそらく、電磁場(真空)内で運動する質量m、電荷qの粒子に関する問いだと思います。違っていたらゴメンナサイ。
とにかくこのような系では、電場、磁場をそれぞれE、Bとすると、粒子に働く力は、
     F = q{E + (v×B)}            ・・・・・・・(1)
なので、これからNewtonの運動方程式を書いていけばこの運動を記述できます。しかし、一般化された運動量Px,Py,Pzは、
ラグラジアンL が解らないと求められないですね、つまり、Px,Py,Pzは、ラグラジアンをそれぞれ、x,y,zの時間微分
x', y', z'(以後このように書きます)で偏微分したものですから。しかし、(1)を見れば解るように、力は速度vに
依存していますから、ラグランジアンを「(運動エネルギー)-(ポテンシャル)」から求めるのは非常に難しく、
それよりも逆に、オイラー・ラグランジュの方程式において、上の運動方程式と同値になるようなラグランジアンを見つ
けた方が簡単になります。そのラグランジアンとは、
     L=運動エネルギー+q(x'Ax, y'Ay, z'Az)-qΦ ・・・・・・・(2)
です。これをx', y', z'で偏微分すると、「269nk」さんが書いた運動量、
     Px=mx'+qAx, Py=my'+qAy, Pz=mz'+ qAz ・・・・・・・(3)
が導かれます。
ところで、質問にずばり答えましょう。
この運動量の式のqAの項は、この系が速度に依存した力の場である特色を表しています。
ベクトルポテンシャルAを考慮する理由は、単に、EとBからAとΦ(スカラーポテンシャル)に代えることで計算が
ラクになるからです。
(注意・・・上文中のF、E、v、B、Φ、Aはベクトルですから、太字にするか矢印が要ります)
お礼コメント
269nk

お礼率 66% (2/3)

ずばり答えていただいて、ありがとうございました.

もうすこし、勉強してみます。
投稿日時 - 2001-02-23 23:38:38
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  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

質問の言葉遣いからして, レポート問題(?)をそのまま書いているように思えるのですが..... 違っていたら失礼. どういう立場の方で,どの程度のレベルの話か, どこが困っているか,など補足下さい. ...続きを読む
質問の言葉遣いからして,
レポート問題(?)をそのまま書いているように思えるのですが.....
違っていたら失礼.

どういう立場の方で,どの程度のレベルの話か,
どこが困っているか,など補足下さい.
補足コメント
269nk

お礼率 66% (2/3)

大変、遅くなってしまってすみません。
レポート課題では、ありません。
本を読んで勉強していたのですが、
電流密度の式は、ベクトルポテンシャルを考慮すべきだ
という具合にかいてあったのですが、
なぜ、考慮すべきかわからなかったのです。
ベクトルポテンシャルが、計算するうえで楽なので架空のものを想定したのか、
あるいは、
実際、磁場の周りに回転して存在するのか。だとすると、、、という具合でした。

もしよろしければ、
説明等、おねがいします。
投稿日時 - 2001-02-23 21:44:52


  • 回答No.3
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

siegmund です. 前の回答では大変失礼しました. さて,alien55 さんが回答書かれていますので,補足を少し. ベクトルポテンシャルと磁束密度の関係は B = rot A ですから 同じBを与えるAは無数にあります(rot grad Λ = 0 だから). ゲージの選び方の自由度と称しています. スカラーポテンシャルの方と合わせて表現すれば, A → A* = A - g ...続きを読む
siegmund です.
前の回答では大変失礼しました.

さて,alien55 さんが回答書かれていますので,補足を少し.

ベクトルポテンシャルと磁束密度の関係は B = rot A ですから
同じBを与えるAは無数にあります(rot grad Λ = 0 だから).
ゲージの選び方の自由度と称しています.
スカラーポテンシャルの方と合わせて表現すれば,
A → A* = A - grad Λ
φ→ φ* = φ + ∂Λ/∂t
としても,EとBは変わりません.

> ベクトルポテンシャルが、計算するうえで楽なので架空のものを想定したのか、
> あるいは、 実際、磁場の周りに回転して存在するのか。

上のように見ると,単に計算が楽のためにあるようにも見えます.
それでも,Eのポテンシャルが電位(⇔電位差⇔電圧)ですから,
同じような意味でベクトルポテンシャルの存在意味はあります.
ラグランジアン,ハミルトニアンでは直接のEやBではなくて
ポテンシャルが入ってきますから,ハミルトニアンをつかう量子力学では
ベクトルポテンシャルが本質的です.

さらに,アハラノフ-ボーム効果というのがあります.
電子の通り道を途中で2つに分けまた一緒にする.
図が書けないので困るんですが,
ドーナツに2本の棒をつけたようなものを想像してください.
ドーナツのところが道が2つに分かれたというところです.
で,分かれた道の中空部(ドーナツの穴)だけに磁場を通します.
電子は中空部を通らないから,磁場のないところばかり通るわけです.
では,磁場を通しても通さなくても同じか?
そうはならなくて,磁場を通すと干渉効果に違いが出てくることが実験で
確かめられています.
実は,磁場はドーナツの穴のところだけでも,
ベクトルポテンシャルは全体に広がっています.
このアハラノフ-ボーム効果は,
電子がBそのものではなくてAの効果を感じていることを直接示す実験です.
超伝導での同様な効果はジョセフソン効果として知られています.
そういう意味でも,ベクトルポテンシャルは実在的意味があります.
お礼コメント
269nk

お礼率 66% (2/3)

回答ありがとうございました.
もう少し,勉強してみます。
投稿日時 - 2001-02-25 16:58:58
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