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χ^2分布と標本の関係

命題:正規分布N(μ,σ^2)に従う正規母集団から,大きさnの標本X_1,X_2,…,X_nを無作為抽出したとき, Z={(X_1-μ)^2+(X_2-μ)^2+…+(X_n-μ)^2}/σ^2 は自由度nのχ^2分布に従う. というのは理論的に数式から導かれたものなので,納得できました. ところが, 命題:正規分布N(μ,σ^2)に従う正規母集団から,大きさnの標本X_1,X_2,…,X_nを無作為抽出し, 標本平均X=(X_1+X_2+…+X_n)/n を作ると, Z={(X_1-X)^2+(X_2-X)^2+…+(X_n-X)^2}/σ^2 は自由度n-1のχ^2分布に従う. が成り立つ理由が分かりません.数式を用いて理論的に教えて下さい.

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質問者が選んだベストアンサー

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小寺平治:明解演習 数理統計、共立出版、1986 pp.97-99をご参照ください。 ちなみにこの本、かなぁり良いです。 この問題、けっこう面倒くさいです。直交変換がどーたらこーたら・・・私は「ふ~ん」と思って、あとは公式として使わせてもらうことにしました。(笑)

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます! 直交変換という事はきっと行列を使うんですね.どうやら証明が3ページに渡るようですね. 証明が長くなるため入門書は証明を省略してるんでしょうかね. 参照って言っても買わないとやっぱ参照できないですよね.買うしかないのかなぁ.でもお金がもったいないなぁ….図書館って参照できるんでしょうかね.kony0さんは何か文献などを参照するときどうされてるんでしょうか?

質問者からの補足

結局,本屋で立ち読みして内容を見て思い切って買うことにしました!ありがとうございました!

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