χ^2分布と標本の関係

質問

命題：正規分布N(μ，σ^2)に従う正規母集団から，大きさnの標本X_1，X_2，…，X_nを無作為抽出したとき，
Z＝{(X_1－μ)^2＋(X_2－μ)^2＋…＋(X_n－μ)^2}/σ^2
は自由度nのχ^2分布に従う．

というのは理論的に数式から導かれたものなので，納得できました．

ところが，

命題：正規分布N(μ，σ^2)に従う正規母集団から，大きさnの標本X_1，X_2，…，X_nを無作為抽出し，
標本平均X＝(X_1＋X_2＋…＋X_n)/n
を作ると，
Z＝{(X_1－X)^2＋(X_2－X)^2＋…＋(X_n－X)^2}/σ^2
は自由度n－1のχ^2分布に従う．

が成り立つ理由が分かりません．数式を用いて理論的に教えて下さい．

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

小寺平治：明解演習　数理統計、共立出版、1986
pp.97-99をご参照ください。

ちなみにこの本、かなぁり良いです。

この問題、けっこう面倒くさいです。直交変換がどーたらこーたら・・・私は「ふ～ん」と思って、あとは公式として使わせてもらうことにしました。（笑）

お礼

回答ありがとうございます！
直交変換という事はきっと行列を使うんですね．どうやら証明が3ページに渡るようですね．
証明が長くなるため入門書は証明を省略してるんでしょうかね．
参照って言っても買わないとやっぱ参照できないですよね．買うしかないのかなぁ．でもお金がもったいないなぁ…．図書館って参照できるんでしょうかね．kony0さんは何か文献などを参照するときどうされてるんでしょうか？

補足

結局，本屋で立ち読みして内容を見て思い切って買うことにしました！ありがとうございました！