【数学】 連立方程式

質問

連立方程式の問題ですが、
甲、乙２人が１３．５km離れた２地点Ａ、Ｂ間を一定の速さで、甲はＡ地点から時速ｘkm、乙はＢ地点から時速ｙkmで同時に出発し、１往復したら、甲は乙よりも早く戻ってきた。その途中、２人がはじめて出会ったのはＣ地点で、次に甲、乙２人がそれぞれ折り返して、再び出会ったのは、Ｃ地点を出発してから３時間２０分後、Ｃ地点から３km離れたＤ地点であった。このとき、ｘ、ｙの値を求めなさい。
という問題です。

解き方、解答、共に分かりません。
出来れば詳しい解説お願いします。

回答No.4

nabeyann · ベストアンサー

AC間の距離＝ｘｔ　km
BC間の距離＝ｙｔ　km
ｘｔ+ｙｔ＝１３．５km・・・・(1)

甲がＣＢ間とＢＤ間を　ｘ　km/ｈで３時間２０分で移動
　　ｙｔ/ｘ+ＢＤ間の距離/ｘ＝３時間２０分・・・・(2)
ｙｔ+ＢＤ間の距離＝ｘ*３時間２０分（＝ｘ*１０/3時間）・・・・(2)’

乙がＣＡ間とＡＤ間を　ｙ　km/ｈで３時間２０分で移動
　　ｘｔ/ｙ+ＡＤ間の距離/ｙ＝３時間２０分・・・・(3)
ｘｔ+ＡＤ間の距離＝ｙ*３時間２０分（＝ｙ*１０/3時間）・・・・(3)’

ＡＤ間の距離+ＢＤ間の距離＝１３．５km

ＢＤ間の距離＝１３．５km－ＡＤ間の距離

(3)’+(2)’より
ｙｔ+ＢＤ間の距離+ｘｔ+ＡＤ間の距離＝（ｘ+ｙ）１０/3
｛(1)から、（ｙｔ+ＢＤ間の距離+ｘｔ+ＡＤ間の距離＝2*ＡＢ間の距離（＝２７ｋｍ）｝
ｘ+ｙ＝8.1　km/ｈ・・・・(4)
(1)に代入
ｔ＝5/3　時間・・・・(5)
ＣＤ間の距離＝３kmより
ＡＤ間の距離は、AC間の距離+ＣＤ間の距離＝ｘｔ+３＝5/3ｘ+3・・・・(6)
または、AC間の距離-ＣＤ間の距離＝ｘｔ-３＝5/3ｘ-3・・・・(6)’
(5)(6)または、(5)(6)’を(3)’に代入
5/3ｘ+5/3ｘ+3＝10/3ｙ　ｏｒ　わかるよね？
　　ｘ+9/10＝ｙ　ｏｒ、ｘ-9/10＝ｙ
条件　ｘ＞ｙを満たすのは、どちっだ？
(4)に代入
２ｘ＝9
ｘ＝4.5、ｙ＝3.6　（km/ｈ）
ヒントと言うより回答だね、
間違っているかもしれないから、検算するように！

お礼

よく分かるご回答、どうも有り難う御座いました。

僕も完璧に分かりました。
でも、やっぱり、こういう問題をどんどん解いていくことが大切なんだ、と思いました。

本当に、どうも有り難う御座いました。

回答No.3

hinebot

＃１です。

基本的なとこで間違えました。

>ＡからＣ地点までの距離をｚｋｍとおくと、ｚ≠０、またｚ≠13.5として差し支えなく、
>x/z = y/(13.5-z)
>という式が出ます。（Ｃ地点に到達するまでの時間が同じということ）
>これを整理して、
>(13.5-z)x = yz ----(2)

分母・分子が逆ですね。x≠0,y≠0　で
z/x = (13.5-z)/y
整理した(2)の式は同じになりますが…

あと、中ほどの
>一方、乙がＣ地点からＤ地点に到達するまでに動いた距離は
これは、「Ｃ地点から」が余計でした。「最初に出発してから」です。

回答No.2

kony0

ヒント：甲は乙よりも速いことから、2回目に出会った地点は1回目に出会った地点よりもＡ寄りにある。

・速さは文字で与えられている。
・時間は1回目と2回目の間だけ与えられている。
→じゃあ初めて出会うまでの時間も文字で置いてみませんか？
→そうすると、1回目、2回目に出会った地点が求められるはずです！

(x+y)t=13.5
(10/3)(x+y)=13.5*2
(10/3)x=yt+(13.5-(xt-3))
(10/3)y=xt+(xt-3)
はじめの式＋あとの３つのうち２つで解けます。

あとは文字ｔの意味と式の解釈、してみてください。

冷静に考えれば、t=5/3なのはすぐわかるかも？

※ちなみにこの問題はなかなか難しくて、文中「次に甲、乙２人がそれぞれ折り返して」という条件がなければ、もう1通り答えがあります。

お礼

順序よく解説して下さり、どうも有り難う御座いました。よく解りました。(゜゜)(。。)ペコッ

どうも有り難う御座いました。

回答No.1

hinebot

１つ１つ整理してみましょう。

>甲はＡ地点から時速ｘkm、乙はＢ地点から時速ｙkmで同時に出発し、１往復したら、甲は乙よりも早く戻ってきた。

つまり、１往復する時間は乙より甲の方が短い、すなわち甲の方が乙より速いということですね。甲乙の2人が最終的に進む距離は同じなので、
x > y ----(1)
という条件が出てきます。

次に
>その途中、２人がはじめて出会ったのはＣ地点で、

この部分を式にしましょう。ＡからＣ地点までの距離をｚｋｍとおくと、ｚ≠０、またｚ≠13.5として差し支えなく、
x/z = y/(13.5-z)
という式が出ます。（Ｃ地点に到達するまでの時間が同じということ）
これを整理して、
(13.5-z)x = yz ----(2)

次は
>次に甲、乙２人がそれぞれ折り返して、再び出会ったのは、Ｃ地点を出発してから３時間２０分後、Ｃ地点から３km離れたＤ地点であった。
を式にしましょう。

まず、甲の立場に立つと甲がＤ地点に到達するまでに動いた距離は
z + x * 3と1/3 = 10x/3 + z km
一方、乙がＣ地点からＤ地点に到達するまでに動いた距離は
(13.5-z) + y * 3と1/3 = 10y/3 -z + 13.5 km

ここで、甲はＡ～ＢとＢ～Ｄの距離を移動しており、また乙はＢ～ＡとＡ～Ｄの距離を移動していますね。
なので、
Ｂ～Ｄ間の距離は　10x/3 +z - 13.5
Ａ～Ｄ間の距離は　10y/3 -z + 13.5 - 13.5 = 10y/3 -z
これらを足すとＡ～Ｂ間の距離に等しくなるので
10x/3+10y/3 - 13.5 = 13.5
整理して
10x+10y = 81 ----(3)
が出ます。
あと、「Ｄ地点はＣ地点から３ｋｍ離れた」という条件ですが、Ｄ地点がＣ地点からみてＡ，Ｂのどちら側になるかで場合分けしましょう。
i)ＡＤＣＢ　の順の場合
Ａ～Ｄ間の距離は10y/3 -z であり、z-3 になるので
10y/3 - z = z-3
すなわち、
10y -6z = -9 ----(4)
ii)ＡＣＤＢ　の順の場合
Ａ～Ｄ間の距離は10y/3 -z であり、z+3 になるので
10y/3 - z = z+3
すなわち、
10y -6z = 9 ----(5)

あとは、
(2)(3)(4)　、(2)(3)(5)をそれぞれ解いて、
(1)の条件に当てはまるかどうか確認すれば終了です。

※多分、これで合ってると思いますが…。

お礼

No.3のお礼と兼ねさせていただきます。

一つ一つ細かいところまで有り難う御座いました。m(。_。;))m ペコペコ…

何回もトライしたのですが分からなくて・・・。
でも今回のご回答で分からないことも分かりました。

本当に細かく有り難う御座いました。