数学？の問題

質問

数学？の問題

１．速さの違うＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４台の車がある。
ＡとＢを合わせた速さはＣとＤを合わせた速さに等しく、
ＢとＣを合わせた速さはＣとＤを合わせた速さよりも遅い。
なお、ＢとＤを合わせた速さはＣとＡを合わせた速さよりも速いとすると、
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの速さの順序を知るにはどのようなことが分からなければならないか。

答．ＡとＢの速さの比

２．６００人近くの会員がいる会がある。出席者を１０人ずつのグループに分けると３人余り、１５人ずつのグループに分けると８人余り、２１人ずつのグループに分けると５人余る。６人ずつのグループに分けると何人余るか？

答．５人

１．は全然分からず、２．は自力で答えが出たものの、たぶんもっと簡単なやり方があると思い質問しました。どなたか教えてください。テキストに解説が全然載っていないので困っています。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

600人「近く」というのは、何の条件でもないから、無視してかまいません。
例えば、3000人だって、70億人と比べれば遥かに「600人に近い」訳です。

「21人ずつ分けると5人余る」のほうは無視できませんね。
30w + 23 = 21z + 5 に整数解があることは、保証しないといけません。

21z - 30w = 18 だから、この問題に整数解はあります。
一般に、ax + by = c に整数解 x, y があるための必要十分条件は、
c が a, b の最大公約数で割り切れることです。

その理由については、「ベズーの定理」を検索してください。

回答No.3

momordica

２だけ

出席者の人数に７を加えれば、１０でも１５でも割り切れる数になります。
ということで、出席者数は３０の倍数から７引いた数、言いかえれば、３０で割ると２３余る数です。
３０は６の倍数なので、２３を６で割った余り５が、出席者を６人ずつのグループに分けた余りに
なります。

６００人近くだとか、２１人ずつに割ると５人余るだとかの条件は、答を出すためだけなら必要ないですね。
実際に条件に合う数が存在することを確かめる必要はあると思います。

回答No.2

Willyt

一般に整数論はそんなに簡単に解けるわけではなく、ケースバイケースで解いて行かなければならないのです。ｍず、１０と１５の倍数の関係から最下桁が３でなければならないことになり、６００に最も近い整数が５９３となります。その下は１５と１０の最小公倍数３０を引いて５６３、５２３、４９３と続きます。更に２１で割ると５余るのですから、これらの数から５を引いた、５８８，５１８・・・の中から７で割れるものを探すと幸い、５８８がこれに当たります。従って人数は５９３人であることがわかり、これを６で割ると５人余るということになります。

回答No.1

don9don9

１．

>ＡとＢを合わせた速さはＣとＤを合わせた速さに等しく、
>ＢとＣを合わせた速さはＣとＤを合わせた速さよりも遅い。
>なお、ＢとＤを合わせた速さはＣとＡを合わせた速さよりも速いとする

これを整理すると
Ａ＋Ｂ＝Ｃ＋Ｄ　…(1)
Ｂ＋Ｃ＜Ｃ＋Ｄ　…(2)
Ｂ＋Ｄ＞Ｃ＋Ａ　…(3)

まず、(2)の両辺からＣを引くと
Ｂ＜Ｄ　…(4)

次に(1)を変形して
Ｂ＝Ｃ＋Ｄ－Ａ
とし、これを(3)に当てはめると
Ｃ＋Ｄ－Ａ＋Ｄ＞Ｃ＋Ａ
これを整理すると
２Ｄ＞２Ａ　よって　Ｄ＞Ａ　…(5)

ここで(1)を変形してＢとＣを交換すると
Ａ－Ｃ＝Ｄ－Ｂ
ここで(4)よりＤ＞ＢなのでＤ－Ｂ＞０、Ａ－Ｃ＞０
よってＡ＞Ｃ

同様のことがＢに対しても言えます。
(1)を変形してＡとＣを交換すると
Ｂ－Ｃ＝Ｄ－Ａ
ここで(5)よりＤ＞ＡなのでＤ－Ａ＞０、Ｂ－Ｃ＞０
よってＢ＞Ｃ

これでＤが一番速く、Ｃが一番遅いことがわかります。
あとはＡとＢのどちらが速いかが分かれば
４台全ての速さの順がわかります。

２．

あまり数学的ではないかもしれませんが、

・６００に近い３桁の会員数
・１０人ずつのグループに分けると３人余る

ということで、会員数の１の位は「３」
（会員数は□□３人）

・２１人ずつのグループに分けると５人余る

２１の倍数の１の位は必ずかけた数の１の位になります。
余りの５人を足して会員数の１の位が３になるので
２１人ずつのグループに分けた場合のグループ数の１の位は「８」
（□□３人÷２１人＝□８グループ＋余り５人）

会員数は６００に近いということなので
グループ数を２８と仮定すると
会員数は２１×２８＋５＝５９３人となり、これを

・１５人ずつのグループに分けると８人余る

に当てはめると
５９３人÷１５人＝３９グループ＋余り８人となり、条件に合致します。
よって会員数は５９３人となります。
あとは６人ずつのグループに分けた場合の余りを計算すれば５となります。