数学三角比

質問

数学三角比で質問です。

△ＡＢＣにおいて、辺a:b:c＝2：√6：（√3）－1の時頂角Ｃの大きさはどれか？
問題を解いて、解説を読みましたが全く歯が立ちませんでした。そこで質問です。

質問(1)最初にa＝2ｋ、ｂ＝√6ｋ、ｃ＝（√3）－1ｋ とおくとありますが、意味がわかりません。辺の比に何をなんのために掛けているんですか？
質問(2)参考書ではcosA,cosBを求めて出た角度を足して、180から引き答えを出していますが、cosＣだけ計算して答えはでないですか？
質問(3)cosB＝－1/2＝120度のようですが、これは暗記して覚えるんですか？
質問(4)Ｋが計算に入ることによって計算がうまくできません。（Ｋが入ってなくても難しい意です）数学が苦手な自分にもわかるように説明していただけないでしょうか？

宜しくお願いします。

回答No.3

KEIS050162 · ベストアンサー

この問題は、余弦定理で角Ｃを計算するものだと思いますが、角Ｃが面倒くさい角度になるので（計算すれば分かります）、角Ａ、Ｂをそれぞれ余弦定理で計算して、三角形の内角の和からＣを求めるのでしょう。

質１
Ｋをかけなくても計算上問題ないのですが、余弦定理は各辺の長さで定義されているので、そうしたのでしょう。意味合いとしては重要だと思いますが、計算上は、右辺左辺とも省略してしまえば良い（両辺をｋ＾２で割る）ので、あまり深く考えなくても良いでしょう。

質２
後述します。

質３
暗記すべき角度は、三平方の定理で習った、４５度の直角二等辺三角形（正方形の半分）の各辺の比と、３０°、６０°の直角三角形（正三角形の半分）の各辺の比だけでよいです。これ以外は出てこないと思って良いです。

教科書、参考書の単位円のところと良く復習してください。第一象限で出てくる、０、３０、４５、６０、９０°の時のｘ、ｙ座標が、単に第二象限に移り、ｘ座標が－になるだけです。（文字で書いて説明するより、単位円のところで解説されている図を良く見れば一目瞭然です。ついでに、第三、第四象限に出てくる角度とｘ、ｙ座標の符号の関係も理解しておくと良いでしょう。

今回の問題では、Ａ、Ｂは”きりのいい”角度になるのですが、４５°の直角二等辺三角形と、３０°６０°の直角三角形の複合した形になっているので、一発ではＣは計算できません。なので、Ａ、Ｂを出してから、Ｃを計算したのですね。

質４
余弦定理の公式に”Ｋ”が入った形で、式をたてて、２ｂｃＣｏｓＡ　の項のｂｃの部分を展開したら、Ｋ＾２で両辺を割って、Ｋ＾２を消去してみてください。

（√３－１）がややこしいですが、落ち着いて、展開していけば、ＣｏｓＡ、Ｂは、綺麗な数字になるはずです。

補足：
この問題は、数Ｉの三角比の初歩の問題ではないですね。応用問題というほどでもないですが、わざわざ面倒くさく作ってある問題のようです。

迷ったら、三角比の初歩（４５°、３０°の直角三角形の比）、余弦定理、正弦定理、三角形の面積の公式、単位円、などの教科書、参考書の解説部分と例題を復習してみてください。

ご参考に。

お礼

丁寧でとても分かりやすくて助かります！ありがとうございました！

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

質問1：a：b：c＝ak：bk：ck
と、比の計算をしてaとbとcの大きさを一般化しているだけです。

質問2：余弦定理を知っていれば一発です。

質問3：単位円を考え、x軸とy軸に下ろした垂線を引き、できる三角形を見ればわかる。

質問4：質問1の考えから、kは無くてもいい。ただ、どんなスケールにおいても成り立つことを示したいだけだから、kが無いときの計算をまずできるようにした方がよい。

回答No.1

asuncion

＞質問(1)最初にa＝2ｋ、ｂ＝√6ｋ、ｃ＝（√3）－1ｋ とおくとありますが、意味がわかりません。
＞辺の比に何をなんのために掛けているんですか？

辺a, b, cの大きさの「比」だけがわかっている状態ですね。
a=2
b=√6
c=√3 － 1
かもしれませんし、
a=4
b=2√6
c=2√3 － 2
かもしれません。
この2例どちらも、a：b：c = 2：√6：√3 － 1 ですよね。
a, b, cの「絶対的な値」はわかりませんが、その「比」だけはわかっています。
つまり、3辺の長さの比がわかっている三角形（この集合に属する図形は、すべて互いに相似）に
ついて論じるがために、kという比の値を導入して、
a=2k
b=√6k
c=(√3－1)k
としているのです。

お礼

回答ありがとうございました。