数学（円に関する質問）

質問

数学（円に関する質問）

教えて頂きたいことがあります。
円とその弦について、弦から最も離れた円周上の点は
円の中心からその弦に引いた垂線と円との交点のうち、円の中心に対して
弦の反対側の点ということは知っているのですが、論理的というか、式に
よって示すことは可能なのでしょうか。

お分かりの方がいらっしゃいましたら教えて頂けないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

「遠い」とか「近い」という判断は距離が問題になります。
先に、点と線分の距離の意味を確認しておかなくてはいけません。
「ある点Ｐから線分ＸＹまでの距離」と言えば「ＰからＸＹ上の点Ｐ’までの距離ＰＰ’の最小値」のことだと思います。
距離が最小になる時のＰ'はどこにあるでしょう。
ＰからＸＹ、またはその延長線上にに垂線ＰＨを下ろします。
Ｈが線分ＸＹ上にあればＨがＰ'です。
ＨがＸＹ上にはなくて延長線上にある場合はＸまたはＹのＨに近い方がＰ'です。
（線分ですから端があります。直線までの距離だと端がありませんので最小値は常に点から直線に下ろした垂線の長さで決まります。）
今の場合は、「ある円の円周上の点Ｐとその円の弦ＸＹの距離」を考えています。
円周上の点から弦に垂線を下ろすことができればその垂線の長さが距離になります。

弦ＸＹに平行な弦の中で中心Ｏに対して対称な位置にある弦をＸ'Ｙ'とします。
点Ｐが短い方の円弧(Ｘ'Ｙ')上にあれば常にＰから弦ＸＹに垂線を下ろすことができます。この垂線の長さが距離になります。この垂線の長さが一番長くなるのはＰから下ろした垂線が円の中心を通るときです。

お礼

htms42さん

ご回答いただきありがとうございました。

補足

htms42さん

ご回答ありがとうございます。
条件が不足してました。
確認したかったのは、弦と円周上の点との距離の最大です。

回答No.1

Mr_Holland

「弦から最も離れた円周上の点」ということでしたら、弦の端点と、円の中心に対してその端点の反対側の点（距離は直径）ということになってしまいます。
　弦の中点を対象とするなら、他に何らかの条件が必要になりますよ。

お礼

Mr_Hollandさん

ご回答ありがとうございます。

補足

確かに、条件が不足してます。

弦と円周上の点との距離の最大ということです。