共線条件について - 平行移動による影響についての疑問
- 共線条件について疑問があります。ベクトルが矢線ベクトルの場合は平行移動による影響はありませんが、位置ベクトルの場合は平行移動すると条件が満たせない可能性があるため、疑問に思います。
- 共線条件とは、ベクトルABとベクトルAPが比例する関係を指します。しかし、この条件が満たされているからといって3つの点が一直線上にあるとは限りません。特に位置ベクトルの場合は平行移動することで条件を満たせなくなる可能性があるため、疑問に思います。
- 共線条件について疑問があります。矢線ベクトルの場合は平行移動による影響はありませんが、位置ベクトルの場合は平行移動することで条件が満たせなくなる可能性があるため、疑問に思います。この点について助言をいただきたいです。
- ベストアンサー
共線条件について
共線条件について @AP=k@ABとなる実数kがある。 教えてほしいところ このベクトルが矢線ベクトルの場合は、平行移動という概念がないのでいいんですが、もしこのベクトルが位置ベクトルの場合、 平行移動可能です。 よって、@APと@ABを平行移動させます。そうしても、@AP=k@ABという条件を満たします。 よって、@AP=k@ABだからといって3点が一直線上にあるとは限らないのではと思ってしまいます。 矢線ベクトルの場合は平行移動という概念がないからいいんですが、 位置ベクトルを考えている場合、平行移動しちゃったらこの条件満たさないんじゃないかなあと思うことが度々あります。 誰か、この疑問に助言を下さい。
- luut
- お礼率3% (22/603)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数0
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
ベクトルは一般に始点、終点を指定しません。大きさと方向を有し常に平行移動させて考えることができます。位置ベクトルは始点を原点に取ったものです。 @AP=k@ABという時は2つのベクトルの始点を同一点に取っているから点A,P,Bは一直線上に並びます。 @AP=k@BCのときは@AP、@BCが一点でも共有すれば結局、点A,P,B,Cが一直線上に並ぶことになります。
その他の回答 (3)
- Kules
- ベストアンサー率47% (292/619)
再びKulesです。 何やらなかなか難しいことを考えてらっしゃるようで… 若干イメージ的な部分でとらえる必要があるのでなかなか理解しがたいですよね。 ということでもう少し書いてみます。 ベクトルとは本来は始点も終点も存在しません。矢線ベクトルにあるのは「大きさ」と「向き」だけです。 じゃあベクトルABって何なんだ、というと、 「向きはAからBに向かう向きで、大きさは線分ABの長さと等しいベクトル」です。 始点がAに「たまたま」あり、終点がBに「たまたま」あるだけのベクトルです。 つまり、A,Bと同じ位置関係にある点C,Dがあれば、始点をAからCに移せば終点はBからDに移動しますので、ベクトルAB=ベクトルCDが成り立つことになります。始点、終点は変わりましたし、名前も変わりましたが、同じベクトルであることに変わりありません。 では、位置ベクトルとは何かと言えば、「始点を原点に決めたベクトル」です。始点が原点に決まっていて、ベクトルは大きさと向きが決まっているので終点もただ1点に定まります。 つまり、位置ベクトルには平行移動という考え方すらできません。平行移動をするためには始点と終点を 同時に同じ方向に同じ距離だけ動かす必要がありますが、始点が原点から動いてしまえばそれは位置ベクトルとは呼べません。「原点とは違うある一点を始点とする、何らかの大きさと向きを持ったベクトル」です。 イメージの助けになればと思います。参考になれば幸いです。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
位置ベクトルを平行移動させたら、別の点になってしまいます。 したがって、平行移動した位置ベクトルについて成り立つ式は、 もとの点の性質を表していません。平行移動後の点の性質を表すのです。
- Kules
- ベストアンサー率47% (292/619)
ええと…私も言葉の定義があいまいなのですが、 位置ベクトルって原点を始点に取った時のベクトルのことじゃありませんでしたっけ? (こんな表現でいいのかな?) ってことは原点は平行移動しないのでそもそもこの話が成り立たない気がするんですが… 参考になれば幸いです。
関連するQ&A
- 共線条件
共線条件 平行六面体ABCD-EFGHにおいて、辺AB、ADを2:1に内分する点をそれぞれP,Qとし、平行四辺形EFGHの対角線EGを1:2に内分する点をRとするとき、平行六面体の対角線AGは△PQRの重心Kを通ることを説明せよ。 指針 まず、Aを始点とする位置ベクトル@AB,@AD,@AEをそれぞれ,@b,@d,@eとして(表現を簡単に) @AK,@AGを@b,@d,@eで表す。 解 @AB=@b,@AD=@D,@AE=@eとする。 ・・・・・・・・以下省略 教えてほしいところ 指針には、Aを始点とする位置ベクトルと書いてありますが、解答にはAを基準点(原点とみる)という記述が見あたらないので、解説の位置ベクトルとみるという説明とずれている のでは??(位置ベクトルではなく、つまり、単純な矢線ベクトルと解釈できるということです。) 1位置ベクトルとみる理由は、@P,@aなどと表すとき始点が一致していることが示せるから、 2さらに一次独立であることが言えるので、@AK,@AGというベクトルを@b,@d,@eを使って表せると確信 が持てるため。 この1、2が理由です。 添削お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトルの軌跡
平面上に△ABCがあり、点Pが次の等式を満たしている。 PA →+2PB→+3PC→=kAB→ (1)kが実数全体を動くとき、点Pの軌跡を求めよ。 解答には 「AP→=1/2AC→+(2-k)/6AB→・・・(1) (2-k)/6は実数全体を動くから、求める点Pの軌跡は 辺CAの中点Dを通り、辺ABに平行な直線」とあるのですが 辺ABに平行な直線がなぜでてくるのでしょうか? AB→=(2-k)/6AB→ からAB→//(2-k)/6AB→ ということですか? この問題はベクトルの軌跡という章の問題で、 ほんと初歩的な質問になってしまうかもしれませんが 「軌跡」の概念がいまいちよく理解できていないです。 この際、「軌跡」についても教えていただけたら幸いです。 よろしくお願いしますm(_ _)m
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の神に質問
数学の神に質問 3点A(-1,4,a)B(-2,b,-3),C(-4,2,-1)があり、Bは線分AC上にあるとき、a,bの値を求めよ。 指針 Bは線分AC上の点⇔A,B,Cの順に一直線上にある。 ⇔@AB=k@AC(0<=k<=1) 教えてほしいところ @AB=k@ACは基準点をAとおいた位置ベクトルですよね?? 僕の位置ベクトルの理解は 位置ベクトルとは何かと言えば、「始点を原点に決めたベクトル」です。始点が原点に決まっていて、ベクトルは大きさと向きが決まっているので終点もただ1点に定まります。 つまり、位置ベクトルには平行移動という考え方すらできません。平行移動をするためには始点と終点を 同時に同じ方向に同じ距離だけ動かす必要がありますが、始点が原点から動いてしまえばそれは位置ベクトルとは呼べません。 しかし、これが位置ベクトルでないなら、下のように平行移動したものもそれぞれ@AB,@ACですよね?? そうすると、AB=k@ACとなったとしても、A,B,Cの順に一直線上にあるというのは間違いですよね??
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 0×→a(aベクトル) って →0(0ベクトル) ですか?
ベクトルの平行線をやってて思ったんですが、 →b=k×→a(k:実数) がベクトルの平行線の公式ですが、仮にkの値が0だった場合、 0×→a(aベクトル) は →0(0ベクトル) になるんでしょうか? そもそもkは実数と定められているだけで0とは定められていませんし…
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平面ベクトルと図形
平面上に△ABCがあり、AB=5.BC=aとする。∠Bの二等分線が辺ACと交わる点をD.辺BCを5:2に内分する点をE.BDとAEの交点をF.CFの延長とABの交点をGとする。(1)ベクトルAE=2/7AB+5/7ACである。(2)AD:DC=5:aであるから、ベクトルAD=5/5+aである。(3)ベクトルDE=2/7AB+5(a―2)/7(5+a)ACであるからまでは分かるんですがその続きのDE平行ABとなるのはa=4になるのがよく分かりません。一度教えていただいたんですが…教科書のヒントにはDE平行ABとなるための条件は、ベクトルDE=kベクトルABを満たす実数kが存在すること。とあるんですが、このヒントを使っての解き方が分かりません。お願いします。教えて下さい。
- 締切済み
- 数学・算数
- ベクトル(センター試験の模試)
k を実数の定数とする。三角形 ABC と同じ平面上にある点 P が AP ベクトル = (5/11+k) AB ベクトル + (6/11+k) AC ベクトル を満たしているとする。点 P が図の斜線部分(境界を除く)にあるための k の範囲を求めよ。 図は、A を紙面の一番上に書き、三角形 ABC に A から AB と AC を延長する直線が続き、延長した直線と BC に囲まれた(開いている部分もあります)部分が斜線になっています。三角形 ABC を含まない部分です。 わかるでしょうか。 こういう問題なのですが、P が BC をはさんで A と反対側の部分にあるとき、 (5/11+k)+(6/11+k)>1 となりますよね。説明が足りないかもしれませんが…。これで直線(線分ではないですよね)BC より下側に範囲を狭めることができたと思いました。 解答では、それに加えて、点 P が直線 AB より右側にある → (6/11+k)>0…(1) AC より左側にある → (5/11+k)>0…(2) としています。これがなんだかわかりません。 (1)(2)のとき、P が BC 側にあり、A をはさんで BC と反対側にない、ということを示しているとは思ったのですが…。 どのように考えたら、図の部分を表せると考えられるでしょうか。解答ではわからなかったので、教えて下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
>ベクトルは一般に始点、終点を指定しません。 かなり曖昧な表現で、イメージが湧きません。指定しないとはどういうことですか??? 具体例で説明していただけませんか?? >は2つのベクトルの始点を同一点に取っているから 始点は指定しないんですよね?? たとえ同じ点Aとしても指定してません。(あなたの説明からすると) じゃあ、指定しないんだから2つのベクトルの始点はどこでもいいはず。 よって、一直線上にならばないとなってしまいませんか??