不等式についてお願いします。

質問

不等式についてお願いします。
2cosθ+1<0
を解いた時、
-1/2<cosθ
となるのはなぜですか？

私が解くと
2cosθ+1<0⇔2cosθ<-1
cosθ<-1/2
となってしまいます。
どこが間違っているのか教えて下さい。

回答No.4

katuya0318 · ベストアンサー

No.3です。
補足を読みましたが…解答集の答え合ってるんじゃないかと思います。
わたしなりの回答をします。

実際の式は変形してcosθ(2cosθ+1)<0とのことですので、
この式が成り立つのは、cosθ と (2cosθ+1) のどちらか
一方が負の値、もう一方が正の値の場合です。

ですので、
(1) cosθ>0 かつ 2cosθ+1<0
(2) cosθ<0 かつ 2cosθ+1>0
を満たすことが考えられます。

以下、証明です。
(1) cosθ>0 かつ 2cosθ+1<0
2cosθ+1<0
⇔ cosθ<-1/2
cosθ>0 と cosθ<-1/2 は、両方を同時に満たすことが
できませんので、(1)は成り立ちません。

(2) cosθ<0 かつ 2cosθ+1>0
2cosθ+1>0
⇔ cosθ>-1/2
cosθ<0 と cosθ>-1/2 は、-1/2<cosθ<0 区間で
両方同時に満たしますので、(2)は成り立ちます。

以上(1)、(2)より、cosθ(2cosθ+1)<0の解は、
-1/2<cosθ<0　
であることが証明されました。

cosθの範囲を数直線で書いてみると分かりやすいですよ。

お礼

すごく解り易い回答をありがとうございました。
なにがいけなかったかが、よくわかりました。
とても助かりました。

回答No.3

katuya0318

> -1/2<cosθ
> となるのはなぜですか？

この答えは本当に合ってるんでしょうか？
もし答えが cosθ>-1/2 だとすると、2cosθ+1<0 は成立しません。

仮にcosθ=-1/2を代入すると 2×(-1/2)+1=0 となるため、
cosθが-1/2よりも大きい値となると、 2cosθ+1>0 に
なってしまいます。

> 私が解くと
> 2cosθ+1<0⇔2cosθ<-1
> cosθ<-1/2
> となってしまいます。

わたしも同じ答えになりました。
-1を右辺に移項しても不等号に向きは変わりませんもんね。

試しにcosθに-1/2以下の値を代入してみてください。
2cosθ+1<0が必ず成立します。

回答No.2

asuncion

＞-1/2<cosθ
＞となるのはなぜですか？

だれから（あるいは、どこで）そういう話が出ているのでしょうか？

回答No.1

BookerL

あなたの解いたので間違いないですよ。

＞2cosθ+1<0
＞を解いた時、
＞-1/2<cosθ
＞となる

とはどこにあったのでしょう？

　どこかの問題集の解答でしょうか。問題集の解答の間違いなど、そんなに珍しいことでもありません。

補足

解答集にあり、理解できずに苦しんでいました。

⇔(2cos^2θ-1)+cosθ+1<0
⇔2cos^2θ+cosθ<0
⇔cosθ(2cosθ+1)<0
　　∴　-1/2<cosθ<0

解答集より引用　

「問題集の解答の間違いなど、そんなに珍しいことでもありません」

聞いて安心しました。