強束縛近似での行列要素の計算について

質問

強束縛近似での行列要素の計算について

こんにちは。
強束縛近似での行列要素の計算についてお聞きします。
添付の画像の式(8)と式(9)について以下の２点がお分かりになれば
教えていただきたいです。

(1)式のt_n, t_mは単位格子内の原子の位置と考えてよいのか。
　（たとえば、bcc構造なら、t_n={
( 0.0, 0.0, 0.0),
(-0.5, -0.5, -0.5), (0.5, -0.5, -0.5),(-0.5, 0.5, -0.5), (0.5, 0.5, -0.5),
(-0.5, -0.5, 0.5), (0.5, -0.5, 0.5),(-0.5, 0.5, 0.5), (0.5, 0.5, 0.5)
}（単位は格子定数a0）の９つを考えればよいのでしょうか。）

(2)式(9)のt_nは式(8)の要素を同じものと考えてよいのか。
　すなわち、式(8)のハミルトニアンの積分をt_mだけ平行移動しただけならば
　式(9)のt_nは式(8)のt_n+t_mの組み合わせを考えたものとなるのでしょうか。

根本的に考えが間違っているかもしれませんが、よろしくお願いいたします。

添付の画像の元：http://www2.kobe-u.ac.jp/~lerl2/band.pdf

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

(1)
t_nとかは、単位胞自身の位置ですね。
単位胞内に複数の原子がある場合は2.3節で扱われていて、d_μが単位胞内の原子の位置です。
bcc構造の場合単位胞には原子は2つしかありませんので、d_μについての和も2つの原子についてとることになります。

(2)
まぁ、一般論としてはお考えの通りですが、
今は並進対称性があるので(9)式のように書き換えられるんですね。

お礼

ありがとうございます。助かりました。
正方形のbcc構造を、
t_n=(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)　
（もしくは、(-0.5, 0.5, 0.5), (0.5, -0.5, 0.5), (0.5, 0.5, -0.5)）
d_1=(0,0,0), d_2=(0.5,0.5,0.5)
として計算してみます。

(2)はblochの定理から来るのですね。

補足

bcc構造は、b1=(-0.5, 0.5, 0.5),b2=(0.5, -0.5, 0.5),b3=(0.5, 0.5, -0.5)
を基本並進ベクトルとして、t_n=n1×b1+n2×b2+n3×b3の組み合わせと
d_1=(0,0,0), d_2=(0.5,0.5,0.5)で確かにbcc構造のサイコロの５みたいな
原子配置が重複することなく表現できること分かりました。

また、以下の疑問がわいて、お分かりになれば教えていただきたいのですが・・・

上記ベクトルを使って、強束縛近似のハミルトニアン行列Hを計算しているのですが
Hが非対称になってしまうのですが、そういうものなんでしょうか。

簡単な2次元の場合で考えると以下の図のようになります。
http://g0307.hp.infoseek.co.jp/H12.jpg
R_n=(0,0),(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)の５つを考えて、
下図のオレンジで示す広がりが異なる二つの状態φ1,φ2があった場合、
重なり積分や運動量積分は同じになるのですが、青点の個所に原子のポテンシャル中心を
考えた場合、H12とH21で値が異なる気がします（行列が非対称になるとエネルギーが虚数になる）。
分かりにくいかもしれませんが、なにか間違っている点があればご指摘ください。

回答No.2

eatern27

物理量が実数である事から、物理量(の表現行列)はエルミート行列である事が要請されます。
実対称行列であればこの条件を満たしますが、必ずしも実対称行列である必要はありません。
(実対称行列でないがエルミート行列であるものがある)

ご質問のケースでは、
Hがエルミート行列である条件は、「H_pqとH_qpの複素共役が等しい」という風になりますが、
(一般のkで考えた場合にも)そうなっているので何も問題はありません。

お礼

ご回答、ありがとうございます。確かに、複素数になることを考えていませんでした。
（Hは(R・k)cosとi(R・k)sinのフーリエ級数で展開できる）
k=0を考えたのは、isinの項が消えてcosの項だけ考えればよいからでした。

それでもプログラムで計算させると、重なり行列、運動量行列は対称になるけど、
原子核の引力の行列は非対称になりました（私のプログラムのバグかもしれませんが・・・）
これは本来、無限に周期的に続く原子核の影響を最近傍の原子核のみに打ち切ったから
かもしれないと勝手に思っています（前回の図の青点が無限に広がっていれば、確かに
同じになりそうな気がします）

どちらにせよ、まだ私の理解が浅いと思いますので、もう一度見直してみます。
ありがとうございました。