行列式の計算

質問

添付のn次の行列式の証明問題です。
本文に問題文を書き込もうとしましたが、うまくできなかったので添付にしました。
添付の
１行目は、
| 1+x^2 x 0 ・・・・・0 |
2行目は、
| x 1+x^2 x 0 ・・・・0 |

右辺は、
1 + x^2 + x^4 + ・・・・ + x^2n
です。
n次の時に成り立つとすると、n+1次のときに成り立つとする帰納法で解こうとしましたが、できません。
よろしくお願いします。

回答No.2

info33 · ベストアンサー

No.1

補足コメントの質問。

>貴コメントのうち、
> -x*x{1+x^2+ ... +x^(2(k-1))}
>が成り立つのは、n=k-1の時になると思います。
>n=kの時、成り立つと仮定しても
>n=k-1の時成り立つとは限らないのではないでしょうか。

そのために
第1ステップとして, n=2とn=3の場合について証明しているのです。
第2ステップ n=k=4で成立すると仮定。n=k+1=5で成立することを証明。
この時, n=k-1=3は第1ステップで成立することを証明済みです。
第3ステップ n=k=5で成立すると仮定。n=k+1=6で成立することを証明。
この時, n=k-1=4は第2ステップで成立することを証明済みです。
...
第(k-2)ステップ n=kで成立すると仮定。n=k+1で成立することを証明。
この時, n=k-1は第(k-3)ステップで成立することを証明済みです。

なので, 何の問題ありません。

お礼

info33さま
丁寧な説明有難うございます。
よく分かりました。

回答No.1

info33

n=2の時
|1+x^2, x|
|x, 1+x^2|
=(1+x^2)(1+x^2)-x^2=1+x^2+x^4
成立

n=3の時
|1+x^2, x, 0|
|x, 1+x^2, x|
|0, x, 1+x^2|
=(1+x^2)*{(1+x^2)(1+x^2)-x^2}-x*x(1+x^2)
=(1+x^2){1+x^2+x^4)-(x^2+x^4)
=1+x^2+x^4+x^6
成立

n=k (k≧3)の時 成立すると仮定する
|1+x^2, x, 0, ... , 0, 0|
|x, 1+x^2, x, 0, ... , 0|
... =1+x^2+ ... +x^(2k)
|0, 0, ... , 1+x^2, x, 0|
|0, 0, 0, ... , 1+x^2, x|

n=k+1の時
左辺=
|1+x^2, x, 0, ... , 0, 0|
|x, 1+x^2, x, 0, ... , 0|
...
|0, 0, ... , 1+x^2, x, 0|
|0, 0, 0, ... , 1+x^2, x|
|0, 0, 0, ... , x, 1+x^2|
=(1+x^2)*
|1+x^2, x, 0, ... , 0, 0| ... 一行目で展開
|x, 1+x^2, x, 0, ... , 0|
|0, x, 1+x^2, x, ... , 0|
...
|0, 0, ... , 1+x^2, x, 0|
|0, 0, 0, ... , 1+x^2, x|
|0, 0, 0, ... , x, 1+x^2|
-x*
|x, x, 0, ... , 0|
|0, 1+x^2, x, ... , 0|
...
|0, 0, ... , 1+x^2, x, 0|
|0, 0, 0, ... , 1+x^2, x|
|0, 0, 0, ... , x, 1+x^2|
=(1+x^2)*{1+x^2+ ... +x^(2k)}
-x*x{1+x^2+ ... +x^(2(k-1))}
={1+x^2+ ... +x^(2k)}+x^(2(k+1))
=1+x^2+ ... +x^(2(k+1))
=右辺
成立する。

よって, 数学的 帰納法により
命題は証明された( n≧2)。

補足

info33さま
早速のレス有難うございます。
質問です。
貴コメントのうち、
-x*x{1+x^2+ ... +x^(2(k-1))}
が成り立つのは、n=k-1の時になると思います。
n=kの時、成り立つと仮定してもn=k-1の時成り立つとは限らないのではないでしょうか。よろしくお願いします。