帰納法を用いて行列式を解く

質問

次の等式を証明せよ。
｜１＋ｘ＾２　　　ｘ　　　　０　　　．．．　　　０　　｜
｜　　ｘ　　　１＋ｘ＾２　　ｘ　　　　　　　　　：　　｜
｜　　０　　　　　ｘ　　　　　　　　　　　　　　０　　｜
｜　　０　　　　　　　　　　　　　　ｘ　　　　　０　　｜
｜　　：　　　　　　　　　　　　１＋ｘ＾２　　　ｘ　　｜
｜　　０　　　．．．　　　　０　　　ｘ　　　１＋ｘ＾２｜
（ただし、ｎは行列式の次数）
※見辛いと思いますが、対角線上は１＋ｘ＾２で、その周りがｘで囲まれています。
＝１＋ｘ＾２＋ｘ＾４＋．．．＋ｘ＾（２ｎ）

…となっているんですが、本の答えは「帰納法を用いる」だけしか書いてありません。
帰納法のやり方は分かっているつもりですが、どういう式にしてから帰納法を用いればいいのか分かりません。
まずは自分でやってみたのですが：
第n行を第n-1行に足す
第n-1行を第n-2行に足す
　　　　：
第3行を第2行に足す
第2行を第1行に足す
｜　１＋ｘ＾２　　　　　ｘ　　　　　　　０　　．．．　　　０　　｜
｜１＋ｘ＋ｘ＾２　１＋ｘ＋ｘ＾２　１＋ｘ＋ｘ＾２　　　　　：　　｜
｜　　　０　　　　１＋ｘ＋ｘ＾２　　　　　　　　　　　　　０　　｜
｜　　　０　　　　　　　　　　　　１＋ｘ＋ｘ＾２　　　　　０　　｜
｜　　　：　　　　　　　　　　　　１＋ｘ＋ｘ＾２　１＋ｘ＋ｘ＾２｜
｜　　　０　　　．．．　　　　０　１＋ｘ＋ｘ＾２　１＋ｘ＋ｘ＾２｜
…これであわよくばどこかの１＋ｘ＋ｘ＾２を消して上三角行列に出来ると思ってたのですが、
消すと他の行にまた－（１＋ｘ＋ｘ＾２）が入ってしまいます。
どのような考え方で解けばいいのでしょうか？

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

＃１さんへのお礼欄のn=3の場合のサラス展開は、
|1+x^2 x 0|
|x 1+x^2 x|
|0 x 1+x^2|
=(1+x^2)(1+x^2)(1+x^2)-x^2(1+x^2)-x^2(1+x^2)
=(1+x^2){(1+x^2)(1+x^2)-x^2-x^2}
=(1+x^2)(1+x^4)
=1+x^2+x^4+x^6

＞それに沿って計算すると、
＞k=n-1:
＞1+x^2(n-1)
＞=1+x^(2n-2)
＞=1+ {x^(2n)}/(x^2)
＞=1+x^2(n-1)
＞ですか？

なにを計算したいのか分かりません。(最初と最後が同じですよ)

Ｔ(n)をＴ(n-1)とＴ(n-2)の式で表すとは、

与式を１行目で余因子展開すると、
（１＋ｘ＾２）＊
｜１＋ｘ＾２　　　ｘ　　　　０　　　．．．　　　０　　｜
｜　　ｘ　　　１＋ｘ＾２　　ｘ　　　　　　　　　：　　｜
｜　　０　　　　　ｘ　　　　　　　　　　　　　　０　　｜
｜　　０　　　　　　　　　　　　　　ｘ　　　　　０　　｜
｜　　：　　　　　　　　　　　　１＋ｘ＾２　　　ｘ　　｜
｜　　０　　　．．．　　　　０　　　ｘ　　　１＋ｘ＾２｜
－ｘ＊
｜　　ｘ　　　　ｘ　　　　　０　　　　　　　　　０　　｜
｜　　０　　１＋ｘ＾２　　　ｘ　　　　　　　　　：　　｜
｜　　０　　　　ｘ　　　　　　　　　　　　　　　０　　｜
｜　　０　　　　　　　　　　　　　　ｘ　　　　　０　　｜
｜　　：　　　　　　　　　　　　１＋ｘ＾２　　　ｘ　　｜
｜　　０　　　．．．　　　　０　　　ｘ　　　１＋ｘ＾２｜

第１項の行列式は、T(n-1)と同じです。
第２項の行列式をさらに第１列目で余因子展開すると、T(n-2)が現われてきます。
T(n)=(1+x^2)*T(n-1)-x^2*T(n-2)

お礼

>=(1+x^2){(1+x^2)(1+x^2)-x^2-x^2}

ああ、括り出すんですね。納得です。

>なにを計算したいのか分かりません。(最初と最後が同じですよ)

ですね(恥)。

>T(n)=(1+x^2)*T(n-1)-x^2*T(n-2)

そういう意味でしたか。
予想すらつきませんでした。
もっと勉強してきます。
ありがとうございました！

回答No.2

nag0720

帰納法を用いるのだから、行列式を直接計算する必要はありません。

n次の行列式をＴ(n)とすれば、Ｔ(n)をＴ(n-1)とＴ(n-2)の式で表すことができます。

お礼

ありがとうございます。
今、読みました。
それに沿って計算すると、
k=n-1:
1+x^2(n-1)
=1+x^(2n-2)
=1+ {x^(2n)}/(x^2)
=1+x^n
ですか？

あ、さっきの計算間違ってそうです。
k=n+1:
1+x^2(n+1)
=1+x^(2n+2)
=1+{x^(2n)}*(x^2)
=1+x^(2n+1)
…でいいですか？
これも間違えているかもしれません…。

補足

追記です。
上の方が間違っていたようです。
=1+{x^(2n)}/(x^2)
=1+x^2(n-1)
ですよね？

回答No.1

koko_u_u

帰納法なんだから、当然 n-1 次の場合に帰着させることを考えるべきでしょう。
定石として、n = 1, n = 2, n = 3 の場合を順に求めてみましょう。

お礼

お待たせしました。
n=1:
|1+x^2|
=1+x^2(1)
=1+x^2

n=2:
|1+x^2 x|
|x 1+x^2|
=(1+x^2)^2 - x^2
=1+x^2+x^4

n=3:
サラスの公式では
|1+x^2 x 0|
|x 1+x^2 x|
|0 x 1+x^2|
=(1+x^2+x^2)(1+x^2)
-x^2(1+x^2)-x^2(1+x^2)
=1+2x^2+2x^4+x^6
-2x^2-2x^4
=1+x^6 ←!?

余因子展開では
|1+x^2 x 0|
|x 1+x^2 x|
|0 x 1+x^2|

=(1+x^2)(-1)^(1+1)
|1+x^2 x|
|x 1+x^2|
+ x(-1)^(2+1)
|x 0|
|x 1+x^2|

=(1+x^2){(1+x^2)^2 - x^2}
- x{x(1+x^2) - 0}
=1+x^2+x^4+x^6

k=n+1:
1+x^2(n+1)
=1+x^(2n+2)
=1+x^(2n)+x^2
=1+x^2+x^(2n)
…これでいいですか？

あと、追加の質問ですみませんが、サラスの公式での結果が何故か合いません。
どこで間違えてしまっているんでしょうか？

補足

了解しました。今、忙しいので、しばらくお待ちください。