速さに関する問題です。

質問

速さに関する問題です。
　３地点Ｐ、Ｑ、Ｒがあり、ＰからＱを通るＲまでの道のりは７２００mで、PからQまで道のりとQからRまでの道のりは等しい。Aさん、Bさん、Cさんの３人が次のようにしてPからRへ手紙を配達した。
　Aさんは、10時にPを毎分７５mの速さでQに向かって徒歩で出発しBさんに出会い、手紙を渡しすぐに向きを変え、来た道を同じ速さでPに戻った。
　Bさんは、Aさんよりも何分か遅れてQを毎分９０mの速さでPに向かって徒歩で出発しAさんに出会い、手紙を受け取りすぐに向きを変え、来た道を同じ速さでRに向かった。そして、出発点Qを通過した後Cさんに出会い、手紙を渡しすぐに向きを変え、来た道を同じ速さでQに戻った。
　Cさんは、Bさんより何分か遅れてRを毎分１２５mの速さでQに向かって徒歩で出発しBさんに出会い、手紙を受け取りすぐに向きを変え、来た道を同じ速さでRに戻り、手紙はRに届いた。
　３人が手紙の受け渡しを終えてそれぞれの出発点に戻るまでに、AさんとBさんの歩いた時間は等しく、AさんとCさんの歩いた道のりは等しかったことがわかっている。
　このとき、次の問いに答えなさい。ただし、手紙の受け渡しに要した時間は考えないものとする。

（１）手紙がRに届いた時刻は、何時何分だったか求めなさい。

（２）BさんがQを出発した時刻は、何時何分だったか求めなさい。

（３）CさんがRを出発した時刻は、何時何分だったか求めなさい。

回答No.2

nattocurry · ベストアンサー

どれくらい考えた上で、ここに質問しているのでしょうか？

まず、PRは7200[m]で、PQとQRは同じ距離なので、PQ=QR=3600[m]です。

AとBが出会った地点をX、BとCが出会った地点をY、
10時から、AとBが出会うまでの時間をtx[分]、
10時から、BとCが出会うまでの時間をty[分]、
10時から、Bが出発するまでの時間をtb[分]、
10時から、Cが出発するまでの時間をtc[分]、とします。

ここまでも考えていないんでしょうね・・・

Aのtb分後にBが出発して、AとBがXで出会ったので、それについて式を立てます。

AとBが出会ったときに、
Aが移動した距離PXは、速度が75[m/分]で、時間がtx[分]なので、75tx[m]になり、
Bが移動した距離QXは、速度が90[m/分]で、時間がtx-tb[分]なので、90(tx-tb)[m]になります。
二人が移動した距離の合計は、PX+QX=PQ=3600[m]なので、

75tx+90(tx-tb)=3600

が成り立ちます。

Aのtb分後にBが出発して、Aのtc分後にCが出発して、BとCがYで出会ったので、それについて式を立てます。

BとCが出会ったときに、
Bが移動した距離QX+XQ+QYは、速度が90[m/分]で、時間がty-tb[分]なので、90(ty-tb)[m]になり、
Cが移動した距離RYは、速度が125[m/分]で、時間がty-tc[分]なので、125(ty-tc)[m]になります。
二人が移動した距離の合計は、QX+XQ+QY+RY=2QX+QR=180(tx-tb)+3600[m]なので、

90(ty-tb)+125(ty-tc)=180(tx-tb)+3600

が成り立ちます。

AとBの歩いた時間が等しいということなので、それについて式を立てます。

Aが歩いた距離はPX+XPで、2PXなので、時間は2txです。
Bが歩いた距離はQX+XQ+QY+YQで、2XYなので、時間は2(ty-tx)です。
なので、

2tx=2(ty-tx)

が成り立ちます。

AとCの歩いた距離が等しいということなので、それについて式を立てます。

Aが歩いた距離はPX+XPで、2PXなので、2*75tx=150txです。
Cが歩いた距離はRY+YRで、2RYなので、2*125(ty-tc)=250(ty-tc)です。
なので、

150tx=250(ty-tc)

が成り立ちます。

4つの未知数 tx,ty,tb,tc に対して、4つの式を立てられたので、この連立方程式を解いて、4つの未知数を求めることができます。

75tx+90(tx-tb)=3600
90(ty-tb)+125(ty-tc)=180(tx-tb)+3600
2tx=2(ty-tx)
150tx=250(ty-tc)

これを解くと、
tx=30
ty=60
tb=15
tc=42
となります。

Bが出発したのは10時15分、
AとBが出会ったのは10時30分、
Cが出発したのは10時42分、
BとCが出会ったのは11時00分、
となります。
そして、Cが出発してBと出会うまでに18分かかっているので、CがRに戻るまでにも18分かかることになります。
なので、手紙がRに届いたのは11時18分となります。

お礼

中３の受験生です。

とてもわかりやすい解説で助かりました。

ありがとうございます。

回答No.1

KEIS050162

中学生さんですか？それとも小学生？
小学生さんだと、方程式を解く方法の解説は難しいとは思いますが、頑張って読んでください。
考え方を書いておきますので、先ずは頑張って先ずは自分で解いてみてください。

出来れば問題分にある情報を図で書いてみるとより分かり易いです。

１）Ｒに手紙が届く時間
全体の時間は、
(1)AがBに出会うまでの時間＋(2)BがAと出合ってからCと出会うまでの時間＋(3)CがBと出会ってからRに着く時間、
となります。これをスタート時間の１０時にに足せばよいです。

AがBに合うまでの時間(1)は、Aが歩いた時間の半分（Bに出合ってからすぐ折り返したので）となります。同様に、
(2)(3)も同様で、それぞれB、Cが歩いた時間の半分となります。

ここで、A、B、Cが歩いた時間をそれぞれ、ta、tb、tc（分）とします。
ＡとＢが歩いた時間は同じなのでｔａ＝ｔｂとなります。

ＰＱＲの総距離は、７２００ｍですから、
７２００ｍ　＝　A、B、Cの歩いた距離　÷　２　（全員往復しているので割る２になります）

これを先ほどの時間ta、tb、tcで表してみると、
７２００ｍ　＝　（　７５ｍ／分　ｘ　ｔａ　＋　ｔｂ　ｘ　９０ｍ／分　＋　ｔｃ　ｘ　１２５ｍ／分　）　÷　２

ｔａとｔｂが同じで、かつＡとＣが歩いた距離が同じなのですから、
７２００ｍ　＝　（　２　ｘ　（７５ｍ　ｘ　ｔａ）　＋　ｔａ　ｘ　９０ｍ　）　÷　２

ここからｔａを求めます。

ｔｂは同じですが、ｔｃは、Ａが歩いた距離をｔａから計算し、それをＣの速度で割れば計算できます。
そこで最初の(1)(2)(3)に戻って、時刻を計算します。

先ずは、これを元に問題を解いてみてください。
残りの２）と３）も考え方だけ書いておきます。

２）Ｂが出発した時刻
ＡがＢと出会うまでの時間（ｔａの半分）までにＡが歩いた距離をＰＱ（７２００ｍ÷２）から引けば、Ｂの歩いた距離が分かりますので、それにかかる時間をＢの速度から計算すれば、どれだけＡから遅れて出発したかが計算できます。

３）Ｃが出発した時刻
１）で到着した時刻が分かっているので、むしろ２）より簡単な気がします。
到着時刻からｔｃを引くだけです。

頑張って。

お礼

中３の受験生です。

有難うございました。