全微分表記から積分して関数を求めるときの質問です。

質問

全微分表記から積分して関数を求めるときの質問です。

熱力学の問題で

dS = A dT + B dH

という式からSを求めるというものにあたったのですが、（Hは外部磁場をあらわしていて、断熱消磁についての問題）
Aには　H　に関する式が
Bには　T　に関する式が
それぞれ含まれています。

具体的には
A = (4aT^3 + CH^2/T^3)
B = (-CH/T^2)

なのですが、これからS1-S0　を求める場合、Aの中にある H やBの中にある T はH1、H0、T1、T0のどちらを代入して使えばよいのでしょうか？

わかりにくくて申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

訂正します。
dS =AdT+BdH=(∂S/∂T)dT+(∂S/∂H)dH
∂S/∂T=A
∂S/∂H=B
となるSを求める

Sが2回全微分可能ならば
Sに対して(∂/∂T)と(∂/∂H)の操作が可換となり
∂A/∂H=(∂/∂H)(∂S/∂T)=(∂/∂T)(∂S/∂H)=∂B/∂T
となる
S(T,H)=c(∫_{T0～T}A(T,H)dT+∫_{H0～H}B(T0,H)dH)
+(1-c)(∫_{T0～T}A(T,H0)dT+∫_{H0～H}B(T,H)dH)
(cは任意定数)
とする
F(T,H)=∫A(T,H)dT
G(T,H)=∫B(T,H)dH
とすると
S(T,H)=c(F(T,H)-F(T0,H)+G(T0,H)-G(T0,H0))+(1-c)(F(T,H0)-F(T0,H0)+G(T,H)-G(T,H0))

(∂/∂T)F(T,H)=A(T,H)
(∂/∂T)(-F(T0,H)-F(T0,H0)+G(T0,H)-G(T0,H0))=0
(∂/∂T)F(T,H0)=A(T,H0)
∂A/∂H=∂B/∂Tだから
(∂/∂T)G(T,H)=∫(∂/∂T)B(T,H)dH=∫(∂/∂H)A(T,H)dH=A(T,H)
(∂/∂T)G(T,H0)=∫(∂/∂T)B(T,H0)dH0=∫(∂/∂H0)A(T,H0)dH0=A(T,H0)
(∂/∂T)S=cA(T,H)+(1-c)(A(T,H0)+A(T,H)-A(T,H0))=A(T,H)

(∂/∂H)F(T,H)=∫(∂/∂H)A(T,H)dT=∫(∂/∂T)B(T,H)dH=B(T,H)
(∂/∂H)F(T0,H)=∫(∂/∂H)A(T0,H)dT0=∫(∂/∂T0)B(T0,H)dT0=B(T0,H)
(∂/∂H)(F(T,H0)-F(T0,H0)-G(T,H0)-G(T0,H0))=0
∂A/∂H=∂B/∂Tだから
(∂/∂H)G(T,H)=B(T,H)
(∂/∂H)G(T0,H)=B(T0,H)
(∂/∂H)S=c(B(T,H)-B(T0,H)+B(T0,H))+(1-c)B(T,H)=B(T,H)

∂S/∂T=A
∂S/∂H=B
となるから
S(T,H)=c(∫_{T0～T}A(T,H)dT+∫_{H0～H}B(T0,H)dH)
+(1-c)(∫_{T0～T}A(T,H0)dT+∫_{H0～H}B(T,H)dH)
が求めるSとなる

A = (4aT^3 + CH^2/T^3)
B = (-CH/T^2)
のとき
∂A/∂H=2CH/T^3=∂B/∂T
だから
S(T,H)
=c(∫_{T0～T}A(T,H)dT+∫_{H0～H}B(T0,H)dH)
+(1-c)(∫_{T0～T}A(T,H0)dT+∫_{H0～H}B(T,H)dH)
=c(aT^4-CH^2/2T^2-aT0^4 + CH^2/2T0^2-CH^2/2T0^2 +CH0^2/2T0^2)
+(1-c)(aT^4 - CH0^2/2T^2 -aT0^4 + CH0^2/2T0^2-CH^2/2T^2 +CH0^2/2T^2)
=aT^4-CH^2/2T^2+CH0^2/2T0^2-aT0^4

∂S/∂T=4aT^3 + CH^2/T^3=A
∂S/∂H=-CH/T^2=B
だから
S(T,H)=aT^4-CH^2/2T^2+CH0^2/2T0^2-aT0^4
が求めるSとなり
S1-S0=S(T1,H1)=aT1^4-CH1^2/2T1^2+CH0^2/2T0^2-aT0^4
となる

S(T,H)=c(∫_{T0～T}A(T,H)dT+∫_{H0～H}B(T0,H)dH)
+(1-c)(∫_{T0～T}A(T,H0)dT+∫_{H0～H}B(T,H)dH)
なので
c=1/2のとき
S(T,H)=(1/2)(∫_{T0～T}(A(T,H)+A(T,H0))dT+∫_{H0～H}(B(T,H)+B(T0,H))dH)
c=1のとき
S(T,H)=∫_{T0～T}A(T,H)dT+∫_{H0～H}B(T0,H)dH
c=0のとき
S(T,H)=∫_{T0～T}A(T,H0)dT+∫_{H0～H}B(T,H)dH
のどれでも　∂A/∂H=∂B/∂T　であれば
∂S/∂T=A
∂S/∂H=B
となるSの解となる

お礼

わざわざ何度もありがとうございます！
遅くなってしまい申し訳ありません。助かりました！

回答No.2

muturajcp

dS =AdT+BdH=(∂S/∂T)dT+(∂S/∂H)dH
∂S/∂T=A
∂S/∂H=B
となるSを求める

Sが2回全微分可能ならば
Sに対して(∂/∂T)と(∂/∂H)の操作が可換となり
∂A/∂H=(∂/∂H)(∂S/∂T)=(∂/∂T)(∂S/∂H)=∂B/∂T
となる
S(T,H)=(1/2)(∫_{T0～T}(A(T,H)+A(T,H0))dT+∫_{H0～H}(B(T,H)+B(T0,H))dH)
とする
F(T,H)=∫A(T,H)dT
G(T,H)=∫B(T,H)dH
とすると
S(T,H)=(1/2)(F(T,H)-F(T0,H)+F(T,H0)-F(T0,H0)+G(T,H)-G(T,H0)+G(T0,H)-G(T0,H0))

(∂/∂T)F(T,H)=A(T,H)
(∂/∂T)(-F(T0,H)-F(T0,H0)+G(T0,H)-G(T0,H0))=0
(∂/∂T)F(T,H0)=A(T,H0)
∂A/∂H=∂B/∂Tだから
(∂/∂T)G(T,H)=∫(∂/∂T)B(T,H)dH=∫(∂/∂H)A(T,H)dH=A(T,H)
(∂/∂T)G(T,H0)=∫(∂/∂T)B(T,H0)dH0=∫(∂/∂H0)A(T,H0)dH0=A(T,H0)
(∂/∂T)S=(1/2)(A(T,H)+A(T,H0)+A(T,H)-A(T,H0))=A(T,H)

∂A/∂H=∂B/∂Tだから
(∂/∂H)F(T,H)=∫(∂/∂H)A(T,H)dT=∫(∂/∂T)B(T,H)dH=B(T,H)
(∂/∂H)F(T0,H)=∫(∂/∂H)A(T0,H)dT0=∫(∂/∂T0)B(T0,H)dT0=B(T0,H)
(∂/∂H)(F(T,H0)-F(T0,H0)-G(T,H0)-G(T0,H0))=0
(∂/∂H)G(T,H)=B(T,H)
(∂/∂H)G(T0,H)=B(T0,H)
(∂/∂H)S=(1/2)(B(T,H)-B(T0,H)+B(T,H)+B(T0,H))=B(T,H)

∂S/∂T=A
∂S/∂H=B
となるから
S(T,H)=(1/2)(∫_{T0～T}(A(T,H)+A(T,H0))dT+∫_{H0～H}(B(T,H)+B(T0,H))dH)
が求めるSとなる

A = (4aT^3 + CH^2/T^3)
B = (-CH/T^2)
のとき
∂A/∂H=2CH/T^3=∂B/∂T
だから
S(T,H)
=(1/2)(∫_{T0～T}(A(T,H)+A(T,H0))dT+∫_{H0～H}(B(T,H)+B(T0,H))dH)
=(1/2)(
aT^4 - CH^2/2T^2 -aT0^4 + CH^2/2T0^2
+aT^4 - CH0^2/2T^2 -aT0^4 + CH0^2/2T0^2
-CH^2/2T^2 +CH0^2/2T^2
-CH^2/2T0^2 +CH0^2/2T0^2
)
=aT^4-CH^2/2T^2+CH0^2/2T0^2-aT0^4

∂S/∂T=4aT^3 + CH^2/T^3=A
∂S/∂H=-CH/T^2=B
だから
S(T,H)=aT^4-CH^2/2T^2+CH0^2/2T0^2-aT0^4
が求めるSとなり
S1-S0=S(T1,H1)=aT1^4-CH1^2/2T1^2+CH0^2/2T0^2-aT0^4
となる

∂A/∂H=∂B/∂Tが成り立っていないと
∂S/∂T=A
∂S/∂H=B
とならない

∂S/∂T=A
∂S/∂H=B
が成り立てば
A(T,H)+A(T,H0)　のように二つに分かれていなくてもよい

回答No.1

muturajcp

∂A/∂H=∂B/∂T
のとき
S(T,H)=(1/2)(∫_{T0～T}(A(T,H)+A(T,H0))dT+∫_{H0～H}(B(T,H)+B(T0,H))dH)
とすると
∂S/∂T=A(T,H)
∂S/∂H=B(T,H)
だから

A = (4aT^3 + CH^2/T^3)
B = (-CH/T^2)
のとき
S1-S0=S(T1,H1)
=(1/2)(∫_{T0～T1}(A(T,H1)+A(T,H0))dT+∫_{H0～H1}(B(T1,H)+B(T0,H))dH)
=aT1^4-CH1^2/2T1^2-aT0^4

お礼

毎回解答をいただいて申し訳ありません。
＞∂A/∂H=∂B/∂T
のとき
S(T,H)=(1/2)(∫_{T0～T}(A(T,H)+A(T,H0))dT+∫_{H0～H}(B(T,H)+B(T0,H))dH)

の部分なのですが、これは一般的に良く使う式なのでしょうか？
なぜこうなるのかが理解できなくて・・・

具体的にはなぜ偏微分同士の等式が成り立ってないといけないか
なぜA(T,H)+A(T,H0)　のように二つに分かれているのか

がよくわかりません。毎度のことで申し訳ないのでしょうが教えていただけますか・・・？