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微分方程式ｙ”＋λｙ＝０について、ｙ(０)＝０かつｙ(Ｌ)＝０なる境界
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- pascal3
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まじめに授業を受けていれば講義ノートに必ず書いてあるような問題なので、なぜここで質問するのかと小一時間問い詰めたいが、それは置いておくことにして。 おおむねNo.1の方の書かれているとおりなのですが「nは任意整数」というのは不正確です。 これでは題意にあわないものまで含んでしまいます。 講義ノートを見直して「自明な解は除く」とか何とか書いてあるあたりを確認しましょう。 また、No.1ではλは正と決めてかかっているし、実際そうなのですが、なぜλは正だと考えてよいのかお分かりですか？ 即答できない場合は、No.2の方の書かれているように、λが負とかゼロになる可能性も検討して、その場合には題意を満たす解（境界条件を満たす非自明解）が得られないことを確かめておくべきでしょうね。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
定係数斎次線型微分方程式だから、型通り、 固有値を求めて、指数関数を一次結合するだけです。 y = A exp(x√-λ) + B exp(-x√-λ) に 初期条件を代入して、 定数 A,B を決めれば ok。 λ＞0 なら、三角関数が、 λ＜0 なら、双曲線関数が現れます。 λ=0 なら、別途解いて、一次関数。 実解析の範囲で解きたければ、 両辺に y' を掛けてから一度積分し、 出てきた一階微分方程式を解く。
ｙ”＋λｙ＝０ をyについて解いてｙ(０)＝０かつｙ(Ｌ)＝０ なるようにyの積分定数を定めれば解けると思うけど。 ｙ”＋λｙ＝０ ⇔y=A(cos√λt＋isin√λt)＋B(cos√λt-isin√λt) ｙ(０)＝０から A＋B=0 でy=A(cos√λt＋isin√λt)-A(cos√λt-isin√λt)=i・2Asin√λt ｙ(Ｌ)＝０より √λL=nπ⇔ λ=(nπ/L)^2 ただしnは任意整数 よって y=i・2Asin(nπ/L)t (Aは任意定数
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